Das Ziegenproblem und die e-Funktion
Die "Bandbreite" des Ziegenproblems ist enorm. Das Ausgangsspiel hat seine Motivationskraft durch die umfangreiche öffentliche Diskussion eindrucksvoll bewiesen. Man kann mit dieser Simulation das Ausgangsspiel "stochastisch erkunden" und verallgemeinern und über sehr elementare Analysemethoden (etwa Baumdiagramme) bis zu Zusammenhängen mit der Reihendarstellung der e-Funktion kommen.
Ein Spielbaum für vier Türen (P gibt die Wahrscheinlichkeit an in dem betrachteten Moment die „Gewinntür“ gewählt zu haben:
Die Konsequenzen verschiedener Entscheidungsstrategien werden hier sichtbar.
Der Baum kann auch – anschaulicher – nicht als Wahrscheinlichkeitsbaum, sondern als Baum mit erwarteten Häufigkeiten bei z.B. 12000 Spielen konstruiert werden (Zahlen in Klammern).
Das Programm bietet die Möglichkeit, verschiedene Entscheidungsstrategien in größerer Wiederholungszahl auf ihre Erfolgsquote hin zu untersuchen.Man kann z.B. nach der besten Strategie für das Spiel mit n Türen fragen. Durch Intuition und Analogiebildung liegt die Hypothese nah, daß es am vernünftigsten ist, nach der ersten Wahl so lange zu warten, bis der Moderator alle bis auf die letzte Tür geöffnet hat und dann zu wechseln. Man kann diese und andere Entscheidungsstrategien durchspielen.
Geht man der Frage nach, welche Gewinnchancen man hat, wenn man nach jeder Türöffnung wechselt, findet man einen interessanten Zusammenhang:
Die Formel im 4-er Baum unten rechts zeigt, was in diesem Fall herauskommt. Die Formel ist „lang genug“, um paradigmatisch den allgemeinen Fall „durchscheinen“ zu lassen. Für diesen Fall und für n=5 ergeben sich die Formeln:
download des Programms (400 KB)