Notizen zur Vorlesung, Wintersemester 2020/21
von H. Rehlich     
Didaktik der Analysis und linearen Algebra 
Rekursive Verfahren
Vorbereitungsseminar
   
  Produktive Aufgaben

Analysis und lin. Algebra (MHR II)


Die Seite wird im Laufe des Semester kontinuierlich ergänzt

Zur Teilnahme an den Webmeetings: https://webconf.vc.dfn.de/reh/, Raum-Passcode:  SonneMondSterne

Im Beitrag "Die Angst aus der Klinik" geht Wolfgang Wodarg der Frage nach, was da los sein könnte.

Impressum am Fuß der Seite



Didaktik der Analysis und linearen Algebra
Mo., 16.45 - 18.15 Uhr
Studienleistung: Bearbeitung einer Hausaufgabe
Prüfungsleistung: Seminarvortrag
Eine kurze Begriffsklärung zum Rahmenthema des Seminars: Was ist Matheamtikdidaktik?

Unter Mathematikdidaktik wird diejenige Disziplin verstanden, die sich darum bemüht, Erkenntnisse über das Lehren und Lernen von Mathematik in gesellschaftlichen (insbesondere institutionellen) Kontexten mittels hermeneutischer, empirischer oder sachanalytischer Methoden oder einer Konzertierung derselben zu gewinnen und diese Erkenntnisse in der Praxis zu realisieren. Die Mathematikdidaktik ist wesentlich interdisziplinär und hat es u. a. mit Überschneidungen und auch Verbindung der Bereiche Pädagogik, Mathematik, Psychologie, Philosophie und Soziologie zu tun, reduziert sich aber nicht auf ein Teilgebiet oder auch nur Anwendung einer oder mehrerer der genannten Disziplinen. (Bigalke).

Der ungarische Mathematiker George Polya (1887 - 1985) gibt allerdings zu bedenken (hier auf Seite 154; das ist die dritte Seite der Leseprobe):
"Lehren ist nicht eine Wissenschaft, sondern eine Kunst"

Die Mathematikdidaktik ist - wenn man dem folgt - also eine Wissenschaft, die eine Kunst zu reflektieren bemüht ist.




empfehlenswerte Literatur, eine Auswahl daraus wird im Seminar verwendet

Avital, S. M.; Shettleworth: Ziele des Mathematikunterrichts. Ideen für den Lehrer. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 1983.
Christmann, N.: Einführung in die Mathematikdidaktik. UTB 959, Schöningh, Paderborn 1980.
Claus, H. J.: Einführung in die Didaktik der Mathematik. WBG Darmstadt, 1989.
Ernest, P.: Mathematics Teaching. The State of the Art. The Falmer Press, London 1989.
Freudenthal, H.: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Bd. 1 u. 2. Klett Studienbücher 1973.
Gardner,H.: Dem Denken auf der Spur. Der Weg der Kognitionswissenschaft. Klett-Cotta, Stuttgart 1989.
Heinrich, F.  Zimmermann, B. (Hrsg.):  Problemlösen und Heuristik im Mathematikunterricht - in verschiedenen Ländern und Zusammenhängen. Der Mathematikunterricht Jahrgang 47, Heft 6, Dezember 2001.
Kießwetter, K.: Unterrichtsgestaltung als Problemlösen in komplexen Konstellationen - Welche Ansatzpunkte liefern die Untersuchungen des Kognitionspsychologen D. Dörner für das Verständnis der dabei auftretenden Anforderungen und Phänomene und für eine Revision der Lehrerausbildung? In: F. Padberg, Beiträge zum Lernen und Lehren von Mathematik, Kallmeyer Seelze, 1994.
Kießwetter, K. (Hrsg.): mathematiklehren Heft 58, Juni 1993, Thema: Vernetzung.
Minsky, M.: Mentopolis. Klett-Cotta, Stuttgart 1990.
Pólya, G.: Vom Lösen mathematischer Aufgaben. Bd. I + II, Birkhäuser, Basel, Stutt-gart, 1966.
Pólya, G.: Mathematik und plausibles Schließen. Bd. I + II. Birkhäuser, Basel, Stutt-gart 1969 bzw. 1954.
Popp, Walter: Didaktik der Mathematik. Aulis 1999.
Roth, G.: Das Gehirn und seine Wirklichkeit. Kognitive Neurobiologie und ihre philosophischen Konsequenzen. suhrkamp taschenbuch wissenschaft 1275. Frankfurt 1997.
Tietze, U.-P.; Klika; Wolpers, H.: Didaktik des Mathematikunterrichtes in der Sekundarstufe II. Vieweg, Braunschweig 1982 (neue Auflage 1996 und Aufteilung in 2 Bände).
Winter, H.: Entdeckendes Lernen im Mathematikunterricht. Vieweg, Braunschweig 1989.
Zimmermann, B. (Hrsg.): Problemorientierter Mathematikunterricht. Franzbecker, Bad Salzdetfurth 1991.
Zech, F.: Grundkurs Mathematikdidaktik: Theoretische und praktische Anleitungen für das Lehren und Lernen von Mathematik, Beltz 1998


Vorschläge für Vortragsthemen pdf


Kurzprotokolle der Veranstaltungen



Montag, 26. Oktober

Wir treffen uns im o.g. Webraum von 17.00 Uhr bis ca. 17.45.
Tagesordnung:
1. Informationen zum Ablauf des Seminars und zu Studien- und Prüfungsleistungen
2. Überblick zu den geplanten Inhalten

Erste Seminaraufgaben zur häuslichen Arbeit:

-Lesen des Artikels von K. Kießwetter "Vernetzung als unverzichtbare Leitidee für den Mathematikunterricht" pdf
-Man beweise die beiden dualen Sätze
  1: Von allen umfangsgleichen Rechtecken hat das Quadrat den größten Flächeninhalt
  2: Von allen flächeninhaltsgleichen Rechtecken hat das Quadrat den kleinsten Umfang
  ohne Verwendung der Differentialrechnung. Mittelstufenmathematik bis Klasse 10 darf vorausgesetzt werden.
  Anmerkung: Die Nennung der erlaubten Voraussetzungen ist etwas unscharf, das lässt sich nicht vermeiden.

Sinn der Beweisaufgabe: Im weiteren Verlauf wollen wir über Denktypen (da gibt es theoretische Ansätze) sprechen. Durch die eigene Auseinandersetzung mit der Beweisaufgabe (unter Verbot einspuriger Routine) wird eine wichtige Grundlage gelegt.

Verschiedene Beweise, eingeschätzt nach Denktypen und Bemerkungen zur Propädeutik pdf


Montag, 2. November

Das online-Treffen fand am 4. November (Mittwoch) statt. Dabei wurden Erläuterungen zum Text der letzten Woche gegeben.

Beiträge in der didaktischen Literatur, die auf verschiedene Denkstile eingehen, sind z. B.

Hilfestellungen beim Problemlösen in Form von „Lösungsbildern“ von
GABRIELLA AMBRUS,BUDAPEST &BENJAMIN ROTT,KÖLN
und
Doppelrepräsentation und mathematische Begabung – Theoretische Aspekte und praktische Erfahrungen
Torsten FRITZLAR, Halle, Frank HEINRICH, Braunschweig

Mir scheinen die gewählten inhaltlichen Beispiele zwar etwas "dünn", aber die Orientierung an Krutetskiis Ideen wird schon deutlich. Zu der Differenzierung statischer und dynamischer Denkstile (von anderen (Inge Schwank), als "prädikativ" und "funktional" bezeichnet) findet man im Internet deutlich mehr Artikel, denn dieser Fokus ist auch etwas neuer. Hier ist eine Kurzform.


Montag, 9. November
Wir treffen uns im o.g. Webraum von 17.00 Uhr bis ca. 17.45.
Tagesordnung:
Einige Didaktiker regen an, der Infinitesimalrechnung eine etwas breitere Behandlung der Kegelschnitte ohne Differentialrechnung voranzustellen. Dieses Konzept werde ich vorstellen.
Zur Einstimmung bitte dieses Arbeitsblatt bearbeiten: Hier geht es rund pdf
Nach der Vorstellung einiger weiterer methodischer Möglichkeiten, klassische Inhalte im Unterricht zu thematisieren,
wird eine Möglichkeit vorgestellt, wie Gleichungen für Tangenten an Kegelschnitte im Koordinatensystem ohne Differentialrechung bestimmt werden können. Dazu muss der Begriff der Tangente zunächst vom Kreis auf andere Kegelschnitte übertragen und präzisiert werden (grenzwertfrei)

Protokoll:

Das Arbeitsblatt "Hier geht es rund pdf" stimmt auf die Definition der Parabel als Kegelschnitt ein. Hier ist das entsprechende erweiterte Blatt (pdf).


Die Ortsliniendefinition der Parabel kann man spielerisch mit diesem Programm (exe) (eine Eigenproduktion, die gern weitergegeben werden darf) anschauen bzw. im Unterricht erarbeiten. 
             Drei Punkte
Man kann Punkte oder Geraden in das Spielfeld ziehen. Für jeden Punkt des Spielfeldes wird die Summe der Abstände zu den Objekten berechnet (zu den blauen Punkten wird der Abstand mit -1 multipliziert) und den Feldern gleicher Abstandssumme dieselbe Farbe zugeordnet. Nimmt man einen blauen Punkt und eine Gerade, so definiert die Abstandssumme 0 also den geometrischen Ort der Punkte, die zu dem Punkt und der Geraden denselben Abstand haben. So ist das zu sehende Bild entstanden, es zeigt eine Parabelschar. Man kann hier auch die anderen Kegelschnitte und noch viel mehr erzeugen (das sind - physikalisch ausgedrückt - Äquipotentiallinien).

Eine andere Möglichkeit ist, bedruckte Folien übereinanderzulegen und Moire-Muster anzuschauen.

Ich habe hier (pdf) eine kleine Zusammenstellung geschrieben. Wie im online-Treffen gezeigt wurde, erhält man die Ortsliniendefinition der Ellipse aus der Kegelschnittdefinition mit Hilfe der dandelinschen Kugeln (nach Germinal Pierre Dandelin benannt).



Montag, 16. November
Wir treffen uns im o.g. Webraum von 17.00 Uhr bis ca. 17.45.
Tagesordnung:

Tangenten an Kegelschnitte ohne Differentialrechnung pdf (das kann man im Unterricht machen, ehe man mit der Infinitesimalrechnung beginnt)
Einige Hinweise, wie man im Unterricht vorgehen könnte pdf



Montag, 23. November
Wir treffen uns im o.g. Webraum von 17.00 Uhr bis ca. 17.45.
Es wird um eine Computersimulation zum Spielen (Modellierung von auf Sicht fahrenden Schiffen bei Strömung) und sich daraus ergebende Aufgaben für den Analysisunterricht gehen.
 
Simulationsprogramm                                                                Kurskopplung mit dynamischer Geometriesoftware


 



 



Rekursive Verfahren
Di./Mi., jeweils 9.45 - 11.15 Uhr
Prüfungsleistung: Vortrag, Studienleistung: Abgabe einiger Hausaufgaben (50%)
 Literatur

Wir verwenden u.a.

J. H. Conway, Zahlenzauber, Birkhäuser Verlag, 1997
R. Stowasser, B. Mohry, Rekursive Verfahren, Schroedel Verlag, 1978

für die Seminarvorträge. Das Material wird für jeden Vortrag als Auszug zur Verfügung gestellt




Kurzprotokolle der Veranstaltungen




Dienstag, 27. Oktober und Mittwoch, 28. Oktober

Wir treffen uns am Mittwoch im o.g. Webraum von 10.30 Uhr bis ca. 11.15.
Tagesordnung:
Klärung organisatorischer Fragen,
Hinweise zu den Seminarvorträgen pdf

Die Hinweise zu den Seminarvorträgen bitte vor unserem Treffen am Mittwoch lesen.

Bewertungskriterien grob gerastert:


Seminaraufgabe, bitte bearbeiten bis zur Folgewoche:

Wer bleibt übrig?
Ein Arbeitsblatt aus der Lernwerkstatt pdf
Die Analyse der aufgeworfenen Frage führt auf rekursive Strukturen beim Berechnen und Beweisen.


Dienstag, 3. November und Mittwoch, 4.November

Wir treffen uns am Mittwoch im o.g. Webraum von 10.30 Uhr bis ca. 11.15.
Tagesordnung:
Besprechung der Seminaraufgabe, Präsentation weiterer Beispiele und Aufgaben
für die häusliche Arbeit.
Grobplanung der Vorträge

Dienstag, 10. November und Mittwoch, 11.November

Wir treffen uns am Mittwoch im o.g. Webraum von 10.30 Uhr bis ca. 11.15.
Tagesordnung:
Eine neue Aufgabe wurde am Mittwoch, den 4. November gestellt.
Weitstapeln:

Wie weit kann man Quader über einen Abgrund stapeln?


Zur Terminplanung der Vorträge habe ich eine Email in die Runde geschickt.

Die Vortragsthemen finden Sie hier:


1 Pascal und die Uhr     2 Turmproblem     3 Zweifarbenproblem     4 Gezähltes Händeschütteln     5  vollst. Induktion      6 Gewichtsprobleme
7 Schneeflockenkurve   8 figurierte Zahlen     9 Steiners Zerschneidungen     10 Fibonaccizahlen     11 Pascalzahlen     12 Pascalzahlen II
13 vertauschte Briefe    14 Anhang
 

Zum Vortrag "Turmbau"

Der entscheidende Beweisschritt für die Folge S = 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 +...
Handout zum Vortrag pdf
Besprechung des Beweises aus dem Spektrum pdf

 
Dienstag, 17. November und Mittwoch, 18.November

Eine Aufgabe von J. H. Conway aus dem Buch "Zahlenzauber", Birkhäuser 1997, ein Zählproblem mit Kreisen.

Wir lesen auf Seite 87:
"Wieviele Bereiche gibt es?
In Abständen kommt immer mal jemand mit einer trickreichen Folge, bei der die allgemeine Regel nicht so ist, wie es zunächst den Anschein hat.
Wieviele Bereiche gibt es innerhalb eines jeden der sechs Kreise in Abb. 3.11? Der n-te Kreis hat n Tupfen auf seinem Umfang, die auf alle möglichen Weisen miteinander verbunden sind; dabei sind die Tupfen so gewählt worden, daß nicht mehr als zwei Strecken durch jeden inneren Punkt gehen".




Dienstag, 24. November und Mittwoch, 25.November


Dienstag im  o.g. Webraum von 10.30 Uhr bis ca. 11.15: Vortrag "Gewichts- und Wechselprobleme"

Mittwoch im  o.g. Webraum von 10.30 Uhr bis ca. 11.15: Vortrag "Pascal und die Uhr"







Vorbereitungsseminar für die Praxisphase
Di., 13.15 - 14.45
Studienleistung: Erstellung und Vorstellung eines eigenen Stundenentwurfs
Materialien

werden im Laufe des Semesters hier bereitgestellt



Kurzprotokolle der Veranstaltungen



Dienstag, 27. Oktober

Wir treffen uns am Dienstag  im o.g. Webraum von 13.15  Uhr bis ca. 13.45.
Tagesordnung:
Informationen zum Ablauf des Seminars und der Studienleistung

Themenplanung bis zum Jahresende

27. 10. Eine amerikanische und eine japanische Unterrichtsstunde sollen angeschaut und hinsichtlich verschiedener Leitfragen eingeschätzt werden.

3.11. Was ist guter Unterricht (Ku)

10.11. Beispiel für problemorientierten Unterricht in einer 6. Klasse, Beispiel für einen Unterrichtsentwurf (Re)

17.11. Das Kerncurriculum (Ku)

24.11. Kritische Betrachtungen zu TIMMS und PISA (Re)

1.12. Steht noch nicht fest (Re)

8.12. Planung einer Unterrichtsstunde (Ku)

15.12. Fortsetzung (Ku)

Bildungsziele nach Plato, eine Einstimmung und Analyse von Unterricht pdf
Die im Rahmen der TIMSS-Sudie gefilmten Unterrichtsstunden Angles (USA) und Changing Shape without Changing Area (Japan) sind zugänglich auf dieser Internetseite und sollen angesehen werden.
 

Dienstag, 3. November

Thema: Was ist guter Unterricht?

Dienstag, 10. November

Wir treffen uns am Dienstag  im o.g. Webraum von 13.15  Uhr bis ca. 14.15.
Tagesordnung:
Vorstellung einer Unterrichtsstunde zum problemorientierten Unterricht in einer 6. Klasse

Unterrichtsentwurf zum Vergleich von Brüchen pdf

Der Artikel von Hans-Jochen Engel aus der Zeitschrift "mathematiklehren" pdf

Dienstag, 17. November

Wir treffen uns am Dienstag  im o.g. Webraum von 13.15  Uhr bis ca. 14.15.
Tagesordnung: Kritisches zu Timms und PISA

Produktive Aufgaben
Mi., 11.30 - 13.00 Uhr
Studienleistung: eine schriftliche Hausarbeit
Zum Begriff des produktiven Denkens (das durch "produktive Aufgaben" gefördert werden soll)

Ein übergeordnetes Ziel jeglicher Lehre ist die Förderung des produktiven Denkens. Strunz (1968, S. 228) beschreibt es so:

 „Das produktive Denken stellt die höchste Form aller Arten intellektuel-ler  Betätigung  dar.  Freilich  beschränkt  es  sich  in  der  Schule  auf  das  Selbstfinden von Problemlösungen, die der Wissenschaft bereits bekannt und  nur  dem  Jugendlichen  neu  sind.  Aber  dieser  Unterschied  ist  rein  sachlicher  Natur  und  in  unserem  Zusammenhang  psychologisch  bedeu-tungslos. Das schöpferische Denken eines 13-jährigen Schülers, der von selbst auf die Summenformel für die Reihe der ganzen Zahlen von 1 bis n  kommt  (ohne,  dass  er  vorher  etwas  von  arithmetischen  Reihen  gehört  hätte), ist dem Denken des Wissenschaftlers verwandt, der in mathemati-sches Neuland vorstößt.“

Strunz, K.: Der neue Mathematikunterricht in pädagogisch-psychologischer Sicht. Quelle & Meyeer, Heidelberg 1968

Einen längeren Artikel mit Beispielmaterial und weiteren didaktischen Anmerkungen findet man hier:

Rehlich, H., "Spiegelzahlteiler  -  eine  Einladung  zur  Entwicklung  einer  Mini-Theorie  zu  speziellen  arithmetischen  Symmetrien  in  verschiedenen Zahlsystemen." In: M. Nolte (Hrsg.), "Was macht Mathematik aus?", Festschrift anlässlich des 80. Geburtstags von Prof. Dr. Karl Kießwetter


Vorgaben für die Hausarbeit:

Eine der Aufgaben aus dem Hamburger Schülerzirkel soll in Ihrer Ausarbeitung analysiert werden. Dabei soll man sich an den folgenden Gesichtspunkten orienieren:

Umfang, Stil, Fristen, Abgabe, Partnerarbeit

Umfang: ca. 6 Seiten: knapp und prägnant, an Leser mit mathematischem Verstand gerichtet (man denke an eine Handreichung für Lehrer, die das Material einsetzen wollen). Sollten die Aufgaben eines Blattes diesen Rahmen sprengen, müssen Sie eine Auswahl treffen, ist da zu wenig Substanz dran, Punkt 2 von "Inhaltliches" stärker ausarbeiten. Bitte nichts Handschriftliches. Die Ausarbeitung soll bis Ende August als pdf-Dokument an mich geschickt werden. Die Ausarbeitung kann eine Partnerarbeit sein, muss aber nicht.

Inhaltliches

1. Mathematische Lösungen der (oder einiger ausgewählter) Aufgaben des gewählten Blattes. Es geht nicht darum, die Aufgabe einfach nur möglichst kurz zu lösen, sondern darum, sie mathematisch (und so ein bisschen denkpsychologisch) zu analysieren. Einige Beispiele (nicht alles geht bei allen Aufgaben, es sind Anregungen)
- Wenn man verschiedene Lösungswege sieht, können diese beschrieben und verglichen werden. Wie schätzt man selbst die Leichtigkeit darauf zu kommen ein?
- Hat man verschiedene Beweise für dieselbe Aussage, so können mehrere Beweise gebracht werden. Man kann dann auch etwas einschätzen, worauf Schüler wohl eher kommen könnten (man versetzt sich gedanklich in die Lage von Menschen, denen nicht zu viel Vorwissen zur Verfügung steht).
- Die Herangehensweisen zur Ergebnisfindung sollte transparent werden. Hat man z. B. erst einmal eine Serie von Beispielen betrachtet und daraus Vermutungen gewonnen, eine Gleichung aufgestellt, eine Analogie zu Bekanntem gesehen, etc.?
- Gibt es Spezialfälle, bei denen man die Lösung "sofort sieht"?
- Kann man Visualisierungen nutzen oder  spielerische Ansätze ausprobieren.
- Höhere und elementare Methoden können verglichen werden, evtl. können verschiedene Repräsentationen, arithmetisch, algebraisch, geometrisch eine Rolle spielen).
Natürlich steht die Lösung der Aufgaben im Mittelpunkt. Ein Teil der genannten Aspekte sollte aber angesprochen werden. Das kann z. B. sehr gut in einem Prosatext geschehen, in dem man die eigene Vorgehensweise reflektiert und darstellt (das kann man z. B. in "Kästen" unterbringen, während die mathematische Bearbeitung im Haupttext läuft, oder umgekehrt).
Man darf seiner Phantasie und seinem Gefühl für schöne Gestaltungen freien Lauf lassen, ich will kein zu enges Korsett vorgeben, sondern dazu animieren, eine Art mathematischer Abhandlung zu schreiben, die man z. B. einer Zeitung für die Ecke "Unterhaltungsmathematik" anbieten könnte.

2. Mathematische Anschlussfragen und Anschlussergebnisse, Vernetzung mit anderen Inhalten. Manchmal (nicht immer!) ist es ja so, dass einem bei der Arbeit an einem mathematischen Problem etwas auffällt, das einen zu weiteren Fragen führt, die mehr oder weniger eng mit dem bearbeiteten Problem zusammenhängen. Hier kann man also einfach schöne Fragen aufschreiben (die man nicht bearbeiten muss). Manchmal ist es auch so, dass man Verallgemeinerungen sieht und aus dem Erarbeiteten sogar mehr schließen kann, als zunächst beabsichtigt wurde. Das kann man in diesem Punkt unterbringen.





Kurzprotokolle der Veranstaltungen



Mittwoch, 28. Oktober

Wir treffen uns am Mittwoch  im o.g. Webraum von 12.00  Uhr bis ca. 12.45.
Tagesordnung:
Informationen zum Ablauf des Seminars und der Studienleistung


Erste Seminaraufgabe:
Aus der Lernwerkstatt für 5. und 6. -Klässler an unserem Institut. Diese Aufgabe findet sich in einem Buch des berühmten ungarischen Mathematikers George Polya, dessen Werke zum Problemlösen in der Mathematik und im Mathematikunterricht wegweisend sind.

Bearbeiten Sie die Aufgabe "Zerschneidungen eines Quadrats" pdf

In der online-Sitzung wurden Beispiele für produktive Aufgaben im Zusammenhang mit arithmetischen Mustern angesprochen.

Hier ist ein ganzes Arbeitsblatt mit Anregungen pdf

Die Schülerzirkelseite mit den Aufgaben zur Bearbeitung findet man hier


Mittwoch, 4. November

Wir treffen uns am Mittwoch  im o.g. Webraum von 12.00  Uhr bis ca. 12.45.
Tagesordnung:
Ergebnisse zu den "Zerschneidungen eines Quadrats"


Mittwoch, 11. November

Wir treffen uns am Mittwoch  im o.g. Webraum von 12.00  Uhr bis ca. 12.45.
Tagesordnung:
Einige Aspekte produktiver Aufgaben aus denkpsychologischer Sicht



Mittwoch, 18. November

Drei matheamtische Zaubertricks wurden vorgeführt.
1. Die magische Zauberkugel
                2. magische Karten
Jemand denkt sich eine Zahl unter 100. Man legt ihm daraufhin nacheinander 7 Karten vor und fragt jedesmal, ob die Zahl auf dieser Karte ist. Wenn er "ja" sagt, addiert der Zauberer in Gedanken die Zahl oben links auf der Karte (er startet mit null). Nach der letzten Karte sagt er diese Zahl, es ist genau die gedachte.

3.  Wandern unter Hypnose
 
             
Auf diesem Wegenetz wurde der Trick vorgeführt.



Mittwoch, 25. November

Wir treffen uns am Mittwoch  im o.g. Webraum von 12.00  Uhr bis ca. 12.45.
 




Analysis und lineare Algebra
Mo., 15.00 - 16.30 Uhr, BI 97.9
Prüfungsleistung: Klausur am letzten regulären Termin, Studienleistung: Abgabe von Übungsaufgaben (50%)

Zu der Vorlesung werden Notizen herausgegeben. Die spezielle Auswahl der Inhalte findet sich so in keinem mir bekannten Lehrbuch. Die Vorlesung soll einen problemorientierten Einblick in typische Fragen der Stoffgebiete geben und einen kleinen exemplarischen Überblick über wichtige Denkweisen, Erkenntnisgewinnungsverfahren und Ergebnisse der Mathematik vom alten Griechenland bis heute. Die Inhalte sind so gewählt, dass sie einen breiter angelegten Hintergrund für Lehrende an allgemeinbildenden Schulen bilden können. Die Inhalte sind nicht mit dem Ziel gewählt, dass sie alle in der Schule unterrichtet werden sollen oder können (manches ist aber auch in der Schule einsetzbar). Es geht vielmehr darum, dem zukünftigen Lehrenden eine dem Schulstoff übergeordnete handlungslenkende "Hintergrundmelodie" für seinen späteren Unterricht anklingen zu lassen, die ihm auch Anregungen zum eigenständigen Weiterlernen liefern kann.


Materialien

Notizen 1
,  Die Parabel als Kegelschnitt  pdf
Notizen 2,  Tangenten, Sekanten und Nullstellen pdf
Notizen 3, 
Tangentensteigung als stetige Ergänzung der Sekantensteigungsfunktion pdf


Zusatzmaterial
Tangenten an Kegelschnitt ohne Infinitesimalrechnung pdf
Weitere Vernetzungen zu den Kegelschnitten pdf
Beweis der Brennpunkteigenschaft der Parabel pdf



Kurzprotokolle der Veranstaltungen




Montag, 26. Oktober

Wir treffen uns im o.g. Webraum von 15.00 Uhr bis ca. 15.45.
Tagesordnung:
Informationen zum Ablauf der Vorlesung und zu Studien- und Prüfungsleistungen
Einige Bemerkungen zur Parabel aus geometrischer Sicht. Dazu das Arbeitsblatt "Hier geht es rund" pdf

Zu den im online-Treffen gemachten Bemerkungen, wie man Tangenten an Kegelschnitte ohne Differentialrechnung bestimmen kann, habe ich einen kleinen Erklärtext angefertigt:
Tangenten an Kegelschnitt pdf
Dieser Text enthält eine Aufgabe zum Bearbeiten



Montag, 2. November

Das online-Treffen fand am Mittwoch, den 4. November statt.
Angesprochen wurden die Ortsliniendefinitionen der Kegelschnitte, die man recht in Moire-Mustern sehen kann:

Mit dem Computerprogramm Abstandssummen exe kann man Äquidistanzlinien für Kombinationen aus Punkten und Geraden zeichnen lassen.
Die Parabel ist der geometrische Ort von Punkten, die zu einer Geraden (der sogenannten Leitgeraden) und einem Punkt (das ist der sog. Brennpunkt der Parabel) dieselbe Abstandsdifferenz haben. Bei der schwarzen Parabel in der Mitte ist diese Abstandsdifferenz 0, die Abstände sind also gleich.
Hier habe ich etwas herumgespielt und zwei Punkte genommen, zu denen der Abstand positiv gerechnet wird und zwei, zu denen der Abstand negativ gerechnet wird.

Was für die Klausur wichtig ist (1):

Gekonnt werden soll:

- Bestimmung der Gleichung einer Parabel aus Leitgerade und Brennpunkt (wie Aufgabe 1 aus den Notizen 1).
- Den Term einer Parabelgleichung so umformen, dass man Tangenten und Sekanten für beliebige Stellen ablesen kann (Aufgabe 5, Notizen 1).
   Erklärungen hierzu findet man in den Notizen 2.
- Die Verfahren im Kontext einer Aufgabe verwenden können (Aufgabe 2.3 aus den Notizen 2)

Für die Studienleistung soll bearbeitet und abgegeben werden (bis um 19. November als Emailanhang an mich zu schicken):
Aufgabe 2.3 aus den Notizen 2. Mit knappen Erläuterungen der Vorgehensweisen in Prosa.

Hinweise zu den Notizen 2:
Die Notizen enthalten mehr Stoff, als für diese Vorlesung eigentlich vorgesehen ist. Wichtig für diese Vorlesung sind die verschiedenen Termdarstellungsformen mit ihren Verbindungen zu geometrischen Gestaltmerkmalen der Parabel (Nullstellen, Scheitelpunkt, Tangenten und Sekanten). Die Darstellungsform, die das Ablesen der Tangentengleichungen erlaubt, nennt man auch die an einer Stelle entwickelte Darstellung, das wird im Text erklärt. Ich gebe den ganzen Text in der Absicht, dass er ganz gelesen werde und dadurch einige Kenntnisse, die sicher in unterschiedlichem Maße latent vorhanden sind, reaktiviert. Was am Ende "aktives Wissen und Können für die Klausur" sein soll, wird stets transparent gemacht, die weiterführenden Informationen sind aber sicher mindestens als Gedächtnisstütze und Vernetzung nützlich.



Montag, 9. November

Wir treffen uns im o.g. Webraum von 15.00 Uhr bis ca. 15.45.
Tagesordnung:
Besprechung der Aufgabe "Tangente an die Hyperbel" vom Arbeitsblatt "Tangenten an Kegelschnitte"
Einige Hinweise zu den Notizen 2
Ein weiterer Weg zur Tangente als stetige Ergänzung der Sekantensteigungsfunktion
Tangente an Hyperbel Lösung pdf (es handelt sich um das ergänzte Dokument Tangenten an Kegelschnitt



Montag, 16. November

Wir treffen uns im o.g. Webraum von 15.00 Uhr bis ca. 15.45.
Tagesordnung:

-Notizen 3, einige Erläuterungen

Nach dem Treffen geschrieben:
Die dandelinschen Kugeln im Kegel kann man sich im Zusatzmaterial (download oben) noch mal ansehen (im Dokument "Weitere Vernetzungen..." Das habe ich erzählt, weil es hübsch ist und man diesen Hintergrund mal gesehen haben sollte. Klausurrelevant ist das nicht, aber es sollte zu den Hintergrundkenntnissen jedes Mathematiklehrers gehören.
Aus den Notizen 3 habe ich im wesentlichen auf den definitorischen Charakter der Herangehensweise mit der stetigen Ergänzung der Sekantensteigungsfunktion hingewiesen. Was da zu rechnen ist, ist eigentlich einfach. Auch hier gilt wieder: Dieses Hintergrundwissen gilt mehr der Bildung, als der Erzeugung von Abfragewissen. Was man auf der technischen Seite aber durchführen können soll, beschreibe ich unter diesem Text in der Rubrik "Was für die Klausur wichtig ist". Die beiden Alternativen für Potenzausdrücke (Polynomdivision oder mit der h-Methode ausmultiplizieren) sind in den Notizen ausführlich beschrieben. Für die Übertragung auf andere Terme, wie 1/x oder Wurzel x, etc. ist es manchmal auch eine Geschmackssache. Es lohnt sich sehr, das einfach mal selbst auszuprobieren, statt es fertig zu lernen.

-Bemerkungen zum Begriff der Stetigkeit

Für die, die nicht dabei sein konnten: Das Bild zeigt den Graphen einer Parabel (!!!), wie es sich ergibt, wenn man einfach Funktionswerte ausrechnet. Ich habe hier auf ein, zwei und dann drei Stellen gerechnet, dann bekommt man eine getreppte Kurve, das ist ja klar. Rechnet man auf mehr Stellen, so wird die Treppung natürlich feiner und für unser Auge entsteht ein Bild, das wir als kontinuierlich, glatt, oder auch "stetig" klassifizieren, aber es ist doch ganz unweifelhaft so, dass für jede feste Anzahl von Nachkommastellen ein gestuftes Bild entsteht. Was soll es nun aber heißen, wenn einer sagt, bei unendlich vielen Stellen erhält man aber ein glattes Bild? Unendlich viele Stellen kann man ja gar nicht "nehmen".
Es ist klar: Man redet dann von einer geistigen Idealvorstellung. Diese zu problematisieren war meine Absicht bei der Produktion dieser Bilder. Nun wird vielleicht klar, warum die Mathematik den Begriff der "Stetigkeit" definiert. Diese Definition steht auch in den Notizen 3, bis zu der Stelle bin ich aber nicht mehr gekommen.

-Brennpunkteigenschaft der Parabel
Dazu bin ich nicht mehr gekommen. Der Beweis kann nachgelesen werden, ich habe ihn oben verlinkt.

Was für die Klausur wichtig ist (2):

Gekonnt werden soll:

- Ableiten einfacher Ausdrücke xn mit Hilfe der Sekantensteigungsfunktion (wie Aufgabe 3.1 aus den Notizen 3)
- Ableiten weiterer spezieller Funktionen mit Hilfe der Sekantensteigungsfunktion (wie Aufgabe 3.3, diese erfordert etwas knobeln)
- Kleine Anwendungsaufgaben (wie Aufgabe 3.4)


Änderung der Bedingungen für die Studienleistung:
Ich werde weitere Aufgaben nennen, die bearbeitet und abgegeben werden können. Es reicht aber, einmal etwas abzugeben. Es scheint ja selbstverständlich, dass man sich mit den Aufgaben befasst, schon zum Klausurtraining. Da muss im online-Semester nicht ebenso verfahren werden, wie im normalen Semester, zum Nachsehen werde ich nämlich kaum Zeit finden. Aber einmal muss etwas abgegeben werden.
Wer noch nichts abgegeben (= zugeschickt als pdf) hat, kann
das mit Aufgabe 3.4. nun nachholen.


Fortsetzung folgt


Montag, 23. November

Wir treffen uns im o.g. Webraum von 15.00 Uhr bis ca. 15.45.
Tagesordnung:

Herleitung weiterer Ableitungsregeln
Präzisierung des Begriffs der Stetigkeit






Zum Schluss: Der Fuß der Seite

 Sollten dem Leser dieser Seiten Fehler in Orthographie, Sinn und Verstand auffallen, so bittet der Verfasser um Nachsicht und Nachricht und bittet auch darum, die Tücken der Technik (auf die auch andere hingewiesen haben) zur Entschuldigung ins Kalkül zu ziehen:




O unberachenbere Schreibmischane,

was bist du für ein winderluches Tier?
Du tauschst die Bachstuben günz nach Vergnagen
und schröbst so scheinen Unsinn aufs Papier!

Du tappst die falschen Tisten, luber Bieb!
O sige mar, was kann da ich dafür?

von J. Guggenmoos

 



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H. Rehlich, TU Braunschweig
IDME Bienroder Weg 97

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