Notizen zur Vorlesung, Wintersemester 2019/20
Didaktik der Analysis und linearen Algebra 
Rekursive Verfahren
Vorbereitungsseminar
   
 Goldener Schnitt

Analysis und lin. Algebra (MHR II)


Die Seite wird im Laufe des Semester kontinuierlich ergänzt
StanOlliOxford
Forschung in Entenhausen
Impressum am Fuß der Seite



Didaktik der Analysis und linearen Algebra
Mo., 16.45 - 18.15 Uhr, BI 97.10
Studienleistung: regelmäßige Mitarbeit, schriftliche Bearbeitung einer Hausaufgabe
Prüfungsleistung: Seminarvortrag
Eine kurze Begriffsklärung zum Rahmenthema des Seminars: Was ist Matheamtikdidaktik?

Unter Mathematikdidaktik wird diejenige Disziplin verstanden, die sich darum bemüht, Erkenntnisse über das Lehren und Lernen von Mathematik in gesellschaftlichen (insbesondere institutionellen) Kontexten mittels hermeneutischer, empirischer oder sachanalytischer Methoden oder einer Konzertierung derselben zu gewinnen und diese Erkenntnisse in der Praxis zu realisieren. Die Mathematikdidaktik ist wesentlich interdisziplinär und hat es u. a. mit Überschneidungen und auch Verbindung der Bereiche Pädagogik, Mathematik, Psychologie, Philosophie und Soziologie zu tun, reduziert sich aber nicht auf ein Teilgebiet oder auch nur Anwendung einer oder mehrerer der genannten Disziplinen. (Bigalke).

Der ungarische Mathematiker George Polya (1887 - 1985) gibt allerdings zu bedenken (hier auf Seite 154; das ist die dritte Seite der Leseprobe):
"Lehren ist nicht eine Wissenschaft, sondern eine Kunst"

Die Mathematikdidaktik ist - wenn man dem folgt - also eine Wissenschaft, die eine Kunst zu reflektieren bemüht ist.




Literatur

Avital, S. M.; Shettleworth: Ziele des Mathematikunterrichts. Ideen für den Lehrer. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 1983.

Christmann, N.: Einführung in die Mathematikdidaktik. UTB 959, Schöningh, Paderborn 1980.

Claus, H. J.: Einführung in die Didaktik der Mathematik. WBG Darmstadt, 1989.

Ernest, P.: Mathematics Teaching. The State of the Art. The Falmer Press, London 1989.

Freudenthal, H.: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Bd. 1 u. 2. Klett Studienbücher 1973.

Gardner,H.: Dem Denken auf der Spur. Der Weg der Kognitionswissenschaft. Klett-Cotta, Stuttgart 1989.

Heinrich, F.  Zimmermann, B. (Hrsg.):  Problemlösen und Heuristik im Mathematikunterricht - in verschiedenen Ländern und Zusammenhängen. Der Mathematikunterricht Jahrgang 47, Heft 6, Dezember 2001.

Kießwetter, K.: Unterrichtsgestaltung als Problemlösen in komplexen Konstellationen - Welche Ansatzpunkte liefern die Untersuchungen des Kognitionspsychologen D. Dörner für das Verständnis der dabei auftretenden Anforderungen und Phänomene und für eine Revision der Lehrerausbildung? In: F. Padberg, Beiträge zum Lernen und Lehren von Mathematik, Kallmeyer Seelze, 1994.

Kießwetter, K. (Hrsg.): mathematiklehren Heft 58, Juni 1993, Thema: „Vernetzung“.

Minsky, M.: Mentopolis. Klett-Cotta, Stuttgart 1990.

Pólya, G.: Vom Lösen mathematischer Aufgaben. Bd. I + II, Birkhäuser, Basel, Stutt-gart, 1966.

Pólya, G.: Mathematik und plausibles Schließen. Bd. I + II. Birkhäuser, Basel, Stutt-gart 1969 bzw. 1954.

Popp, Walter: Didaktik der Mathematik. Aulis 1999.

Roth, G.: Das Gehirn und seine Wirklichkeit. Kognitive Neurobiologie und ihre philosophischen Konsequenzen. suhrkamp taschenbuch wissenschaft 1275. Frankfurt 1997.

Tietze, U.-P.; Klika; Wolpers, H.: Didaktik des Mathematikunterrichtes in der Sekundarstufe II. Vieweg, Braunschweig 1982 (neue Auflage 1996 und Aufteilung in 2 Bände).

Winter, H.: Entdeckendes Lernen im Mathematikunterricht. Vieweg, Braunschweig 1989.

Zimmermann, B. (Hrsg.): Problemorientierter Mathematikunterricht. Franzbecker, Bad Salzdetfurth 1991.

Zech, F.: Grundkurs Mathematikdidaktik: Theoretische und praktische Anleitungen für das Lehren und Lernen von Mathematik, Beltz 1998




Kurzprotokolle der Veranstaltungen



Mo, 21. Oktober

Vorgestellt wurde eine Gestaltungsidee für problemorientierten Unterricht zur analytischen Geometrie. Es handelte sich dabei um eine Einstiegssituation, die allerdings so angelegt ist, dass sie einen roten Faden für eine ganze Unterrichtseinheit bilden kann. Zentrales Arbeitsmittel für die Schüler ist dabei ein Faltblatt für ein dreidimensionales Objekt.

d    download des Faltblatts als doc als pdf

Auf dem ausgeteilten Faltblatt standen noch keine Fragen zur geometrischen Situation. Eine Einsatzmöglichkeit sieht nämlich vor, dass diese von den Schülern formuliert werden (sowohl Fragen, die sie beantworten könnten, als auch solche, die ihnen schwierig erscheinen). Eine vom Lehrer aus diesen Anregungen an der Tafel zusammengestellte Liste kann dann wesentliche Ziele der gesamten Unterrichtseinheit aufzeigen.

Im Seminar haben wir eine kleine Sammlung derartiger Fragen gemeinsam zusammengestellt und Bearbeitungsmöglichkeiten der Schüler antizipiert. Einige Beispiele:

-Wie groß ist der Abstand zwischen zwei Punkten bekannter Koordinaten? (Dient zur Wiederholung und zur Vorbereitung auf den Betrag eines Vektors, der als mathematisches Objekt den Schülern an dieser Stelle aber noch nicht geläufig ist. Man kann Punkte in einer Ebene wählen und auch solche, die räumlich gegenüberliegende Ecken eines Quaders bilden.)

- Welche Koordinaten hat die Spitze der Pyramide?  (Das ist für die Schüler eine kleine Problemaufgabe, denn sie müssen zunächst einen Lösungsplan erstellen. Dabei denken sie sich auch in die dargestellt Konstellation ein)

- Wo treffen die Trägergeraden der Pyramidenseiten die Koordinatenebenen? (Hier sollte der Lehrer so moderieren, dass die Grundidee der Parameterdarstellung einer Geraden plastisch deutlich wird.

- Welche Schnittgeraden haben die Trägerebenen der Pyramidenseiten mit den Koordinatenebenen gemeinsam?

- Wie weit ist T von der Dreiecksfläche SPQ entfernt.

etc.

Diese Unterrichtsidee stellt eine hohe fachliche und didaktische Anforderung an den Lehrer. Er muss sich in die Möglichkeiten seiner Schüler hineinversetzen und in der geometrischen Situation mustergültige Beispiele für angestrebte Lerninhalte der Unterrichtseinheit zur analytischen Geometrie erkennen und - ohne vorgefertigte Bearbeitungswege zu lehren - diese aus inhaltlichem Denken heraus entwickeln.

Mo, 28. Oktober

Zunächst wurde Organisatorisches besprochen. Drei Seminarteilnehmer werden Vorträge aus dieser Themenliste pdf  halten (Herr Dühmke, Frau Schomäcker und Herr Wiersig).

Besprochen wurden noch einige Fragen zur Behandlung der Vektorgeometrie im Schulunterricht.
Zu Beginn der nächsten Sitzung wollen wir die "Schatzsucheraufgabe" besprechen und dabei Lösungen mit und ohne Vektorrechnung miteinander vergleichen.



Auf einer Schatzkarte findet man folgende Anweisung: Gehe vom Skelett geradlinig zur großen Eiche. Biege dort rechtwinklig nach links ab und lege noch einmal dieselbe Strecke geradlinig zurück. Schlage dort einen Pflock 1 ein. Kehre zum Skelett zurück.
Gehe nun geradlinig zur großen Buche. Biege dort rechtwinklig rechts ab und lege noch einmal dieselbe Entfernung geradlinig zurück. Schlage dort einen Pflock 2 ein. Suche in der Mitte zwischen den beiden Pflöcken.

Der Schatzsucher findet das Skelett nicht und startet daher von einer vermuteten Stelle. Er findet nach der Befolgung der Anweisung den Schatz auf Anhieb. War das Glück?



Mo, 4. November

Weitere Besprechung einiger Aspekte zur Didaktik der linearen Algebara (genauer: Vektorgeometrie). Vergleich verschiedener Lösungswege derselben Aufgabe (Teilungsverhältnisse berechnen):

Holzhammermethode: "Normale Koordinatengeometrie"




Eleganter: Elementargeometrie





Vektorrechnung: Universell und einfach, "halbelegant"


Auch die Schatzsucheraufgabe geht mit koordinatenfreier Vektorrechnung:

Man rechnet den Weg vom Startpunkt zum Ziel einfach aus:


Die verwendeten Rechenregeln (Distributivgesetz, Assozialtivgesetz, Linearität des Drehoperators) müssen natürlich vorher einsichtsvoll (!) entwickelt worden sein.


Mo, 11. und 18. November


Verschiedene Beweise für die "dualen" Sätze
1: Von allen umfangsgleichen Rechtecken hat das Quadrat den größten Flächeninhalt
2: Von allen flächeninhaltsgleichen Rechtecken hat das Quadrat den kleinsten Umfang
Anhand der verschiedenen Beweismöglichkeiten wurden Klassifikationen von Denktypen nach Krutetskii, Schwank und Strunz vorgestellt.
Download pdf

Verschiedene Beweise für die Kettenregel (Beispiel für die Berücksichtigung des geometrisch-dynamischen Denktyps)
Download des Arbeitsblattes pdf




Dezember


Vortrag zur Ableitung der Sinusfunktion im Schulunterricht.
Der Vortrag orientiert sich an dem sehr breit und grundlegend (sowohl mathematisch, als auch mathematikdidaktisch) angelegten Artikel

"Anschaulichkeit und Strenge bei der Behandlung der Sinusfunktion und ihrer Ableitung" von Arnold Kirsch. Der Artikel ist aus dem Themenheft
Anschaulich und Strenge in der Analysis IV, MU, Jahrgang 25, Heft 3, 1979 Klett, herausgegeben von W. Blum und A. Kirsch

Der Vortrag faßt einige wesentliche Gedanken zusammen.

Hier ist eine markante Stelle, man könnte sagen, der "Knackpunkt":



Download des Artikels pdf

Der Artikel ist sehr empfehlenswert. Im letzten Kapitel lernt man z. B., wie man die Reihenentwicklung des Sinus durch eine einfache Integrationskette erhalten kann (also nicht als Taylorentwicklung):



Zur aktuellen Lage der bildungspolitischen Vorgaben für den Mathematikunterricht, kann man wohl sagen, dass ein Blick auf den (kompetenzorientierten) Zeitgeist nun allerdings pessimistisch stimmt:

Im neuen Kerncurriculum für den Unterricht an Gymnasien steht (2018):
"Die Ableitung der Sinus- und Kosinusfunktion kann graphisch plausibel gemacht werden."

Ein "Ringen" um die Frage nach dem angemessenen Standort zwischen Anschaulichkeit und Strenge findet offenbar nicht mehr statt. Diese Formulierung lässt sogar die "platteste Plausibilisierung" salonfähig erscheinen. Der hier formulierte Anspruch wird ja doch wohl schon von einer händisch qualtitativ durchgeführten Skizzierung der Ableitungsfunktion erfüllt, oder?

Zur Studienleistung:

Fadenbilder sind künstlerisch-geometrische Objekte, die auch im Schulunterricht zur Entwicklung und/oder Anwendung mathematischer Methoden geradezu einladen. Das hier abgebildete aus endlich vielen Strecken aufgebaute Fadenbild kann dazu als "diskrete Skizze eines kontinuierlichen Objekts" gedacht werden. Jeder Punkt auf einer Seite wird mit seinen Nachbarn gleicher Position auf benachbarten Seiten verbunden.


Ein Teil der innewohnenden Möglichkeiten soll ausgelotet werden. Bei der Hausaufgabe geht es um die Bestimmung der Randkurve. Man könnte natürlich viele weitere Fragen stellen, z. B. auch nach der Größe der in der Mitte freibleibenden Fläche.

Download der Hausaufgabe.pdf

Die Abgabe soll bis zum 01.03. 2020 erfolgen und einen Umfang von 5 +/- x Seiten haben (knapp und prägnant).



Rekursive Verfahren
Di./Mi., jeweils 9.45 - 11.15 Uhr, BI 97.10
Prüfungsleistung: Vortrag, Studienleistung: Abgabe einiger Hausaufgaben (50%)
Literatur

Wir verwenden

J. H. Conway, Zahlenzauber, Birkhäuser Verlag, 1997
R. Stowasser, B. Mohry, Rekursive Verfahren, Schroedel Verlag, 1978

für die Seminarvorträge. Das Material wird für jeden Vortrag als Auszug zur Verfügung gestellt




Kurzprotokolle der Veranstaltungen




Mi, 23. Oktober bis Dienstag 5.11.

Klärung organisatorischer Fragen, Hinweise zu den Seminarvorträgen pdf

Bewertungskriterien grob gerastert:
a

Terminplanungen

Di, 12. 11. Rehlich
Mi, 13.11. Seminarvortrag 1 "Geldwechselprobleme", Jablonka und Mathes

Di, 19.11.  Aufgabenbesprechung
Mi, 20.11. Seminarvorträge 2 "Pascal und die Uhr", Boehm und 3 "Taxiwege", Parwini

Di, 26.11. Seminarvortrag 4 "Turm von Hanoi",  Niedung und Schröter
Mi, 27.11. Aufgabenbesprechung

Di, 03.12. Seminarvortrag 5 "figurierte Zahlen (aus Conways Zahlenzauber)", Hodel, Oberbeck
Mi, 04.12. Seminarvortrag 6 "Wägeprobleme", Böger, Böhm

Di, 10.12. Seminarvortrag 6 "Fibonaccifolge", Bittner, Dymek
Mi, 11.12. Seminarvortrag 7 "Fibonaccifolge 2", Er, Gürer

Di, 17. 12. Seminarvortrag 8 Thema noch offen, Kruse Sutor
Mi, 18. 12. Aufgabenbesprechung

Di, 07.01. Aufgabenbesprechung
Mi, 08.01. noch offen

Di, 14.01. Seminarvortrag 9
Thema noch offen, Munzel, Thamm-Oberheim
Mi, 15.01. Aufgabenbesprechung

Di, 21.01. noch offen
Mi, 22.01. noch offen

Di, 28.01. Seminarvortrag 10 "figurierte Zahlen", Dralle
Mi, 29.01. noch offen

Di, 04.02. noch offen
Mi, 05.02. noch offen

In den ersten Seminarsitzungen wurden die folgenden Aufgaben bearbeitet und besprochen:

Wer bleibt übrig?
Ein Arbeitsblatt aus der Lernwerkstatt pdf
Die Analyse der aufgeworfenen Frage führt auf rekursive Strukturen beim Berechnen und Beweisen. Das Problem ist übrigens ein "Klassiker" mathematischer Aufgaben und unter dem Namen "Josephus Problem" in Mathematikerkreisen und bei Informatikern weltbekannt.

Die Pellsche Gleichung
Man suche Lösungen für a2 = 2b2  +/- 1   (algorithmischer Aspekt)
Man beweise, dass es unendlich viele Lösungen gibt (Beweisaufgabe)

Bei der Beschäftigung mit diesen Aufgaben merkt man bald, dass rekursives Denken sowohl beim Berechnen, als auch beim Beweisen hilft.



Mi, 23. Oktober bis Dienstag 5.11.

Wie weit kann mit gleichartigen homogenen Quadern über einen Abgrund gestapelt werden?

Das Quietscheentchen sei gewichtslos

Arbeit an der Aufgabe, Herleitung des überraschenden Ergebnis: Beliebig weit!


 

Vorbereitungsseminar für die Praxisphase
Di., 13.15 - 14.45, BI 97.1
Studienleistung: Erstellung und Vorstellung eines eigenen Stundenentwurfs
Materialien

Artikel von J. Engel, Auch Schüler produzieren eine Vielfalt an Methoden, aus MU Heft 58, Jg. 93, Seelze Verlag. pdf



Kurzprotokolle der Veranstaltungen



Di, 29. Oktober


Themenplanung bis zum Jahreswechsel pdf

Bildungsziele nach Plato, eine Einstimmung und Analyse von Unterricht pdf
(verteilt wurde nur die letzte Seite mit den Beobachtungsaufträgen)

Wir haben uns die im Rahmen der TIMSS-Sudie gefilmten Unterrichtsstunden Angles (USA) und Changing Shape without Changing Area (Japan)
(zugänglich auf dieser Internetseite) angesehen und über einige Aspekte miteinander gesprochen.
 




Di, 19. November
Artikel von J. Engel pdf     Unterrichtsentwurf pdf


Goldener Schnitt
Mi., 11.30 - 13.00 Uhr, BI 97.1
Studienleistung: regelmäßige Teilnahme, mindestens einmal an der Tafel "vorrechnen", eine schriftliche Hausarbeit
Literatur

A. Beutelspacher, B. Petry, Der goldene Schnitt, Spektrum Verlag, 1996

das ist jedenfalls ein Klassiker und - im Gegensatz zu manch einer oberflächlichen Effekthascherei* - seriös. Es gibt eine wahre Flut von Büchern zum goldenen Schnitt und das Internet ist voller Anregungen aus ganz verschiedenen Bereichen.

*Ein aktuelles Buch auf dem Markt wirbt u. a. mit der Passage "...geht dieser Band der spannenden Frage nach den Gesetzmäßigkeiten des Universums auf den Grund". Da fragt man sich doch, ob es nicht "eine Nummer kleiner geht". Das klingt nicht seriös.

Natürlich gibt es weitere tadellose Literatur, etwa von Hans Walser ein Buch gleichen Titels, Der goldene Schnitt, erschienen bei Edition am Gutenbergplatz Leipzig; Auflage: 6 (7. März 2013)

Materialien

 
Notizen zum goldenen Schnitt (eine Sammlung aus früheren Semestern) doc pdf

Aufgaben zum Vorrechnen

Serie 1 pdf
Serie 2 pdf
Serie 3 pdf




Studienleistung, Hausaufgabe

Aufgabensammlung mit Hinweisen zum Umfang pdf







Kurzprotokolle der Veranstaltungen



Mi, 23. Oktober

Zum Einstieg haben wir mittels einer Bildersuche im Internet ein breites Spektrum an Bezügen zur Mathematik, Kunst und Architektur angesehen.

Danach wurden Begrifflichkeiten und Definition des goldenen Schnittes vorgestellt:

Eine Strecke der Länge a werde durch einen Teilpunkt in zwei Strecken der Teillängen b und c aufgeteilt. Wenn der Teilpunkt nicht die Mitte ist, ist eine der beiden Teilstrecken länger als die andere, wir bezeichnen diese längere als Major und die kürzere als Minor. Die Strecke ist genau dann im goldenen Schnitt geteilt, wenn sich das Ganze zum Major so verhält, wie der Major zum Minor. Als Gleichung:   a:b = b:c  (hierbei ist also b der Major)

Experimentelles

Eine Suche nach besten ganzzahligen Annäherungen förderte eine besondere Zahlenfolge, die sogenannte Fibonaccifolge zutage.

a

Erläuterung anhand des Paares 13 (Ganzes), 8 (Major):
Der Minor ist hier also 5 und die Teilungsverhältnisse sind 13:8 = 1,625 und  8:5 = 1,6.  Diese sind nicht gleich, kommen einander aber näher, als jemals zuvor bei kleineren Gesamtlängen. Den Fehler kann man als Quotient ausdrücken: 1,625/1,6 = 1,0156.
Die nächste bessere Näherung erhält man erst für eine Strecke der Länge 21, für die man als Major 13 wählen muss.
Betrachtet man nun die Folge der Gesamtlängen für die alle vorhergehenden ganzzahligen Näherungen schlechter sind, so sieht man, dass diese einer einfachen Rekursionsvorschrift genügen: Die Summe der beiden Vorgänger ist die neue Zahl (als Gesamtlänge). Für den Major ergibt sich ebendiese Folge und auch für den Minor, nur jeweils versetzt.

Dies ist ein subtiler und tiefer Zusammenhang, der hier zunächst nur numerisch experimentierend aufleuchtet und erst später bewiesen wird.

Beweise

In der Vorlesung wurde bewiesen, dass es keine ganzzahlige Lösung für die Gleichung zum goldenen Schnitt geben kann:

Für die Gesamtlänge a =  b + c    und den Major b wird gefordert:    a/b  =  b/c,   also  (b+c)/b  =  b/c,  das ist gleichwertig zu   c(b+c) = b2  (*)

Wenn es eine Lösung gäbe, gäbe es auch eine ausgekürzte Lösung mit ggT(b, c) = 1. Das ist aber unmöglich, denn  in Gleichung (*) ist die rechte
Seite durch b teilbar, also müsste die linke es auch sein. Das ist bei ausgekürztem b, c aber unmöglich.

Ausrechungen

Die goldene-Schnittzahl wurde ausgerechnet.   


Mi, 30. Oktober


Besprechung einiger Inhalte aus den Notizen zum goldenen Schnitt (download oben).
Danach Verteilung einer kleinen Sammlung von Geometrieaufgaben pdf. Diese zeigen Konstellationen, in denen der goldene Schnitt (überraschenderweise) auftritt. Die Aufgabe besteht darin, das nachzuweisen. Für die erste Aufgabe wurde eine Lösung durch "stures Ausrechnen" und ein Beweis mit Hilfe des Höhensatzes gezeigt, was natürlich eleganter ist.

hDie entscheidenden Hilfslinien sind rot eingezeichnet.

In der kommenden Woche können für die anderen Aufgaben Lösungen vorgestellt werden.


Mi, 6. November

1. Einige Aufgaben des letzten Arbeitsblattes wurden an der Tafel vorgerechnet.

2. Vorstellung eines Wachstumsmodells zur Sonnemblume

13 links rum, 21 rechts rum, 2 Fibonaccizahlen!
Das Programm exe (zum Spielen)


Mi, 13. November

Der Geist im Taschenrechner.

Handlungsfolge A
1. Starte mit x = 1,   2. Bilde den Kehrwert,    3. Addiere 1,     4. gehe zu 2.
Handlungsfolge B
1. Starte mit x = 1,   2. Addiere 1,    3. Ziehe die Wurzel,     4. gehe zu 2.

Beide Handlungsfolgen führen dazu, dass man sich der goldenen Schnittzahl nähert.
Woran liegt das?

Die Aufgabe wurde bearbeitet und besprochen. Bei Handlungsfolge A entstehen Brüche, deren Zähler und Nenner stets aufeinanderfolgende Fibonaccizahlen sind. Beide Handlungsfolgen definieren eine Interation. Durch eine Fixpunktbestimmung wurde jeweils plausibel eingesehen, dass die Folgen sich der goldenen Schnittzahl annähern. Streng bewiesen wurde das aber noch nicht.


Mi, 20. November

Vorrechnen von AufgabenDer Geist im Taschenrechner.


Mi, 27. November

Vorstellung von sog. Spinnwebgraphiken zur Untersuchung der Iterationen vom 13. November. Dann: weiteres Vorrechnen von Aufgaben.

Wegen der Nachfrage nach weiteren Aufgaben, habe ich noch einmal offene Fragen von den alten Blättern zusammengefasst und drei neue Aufgaben zum Vorrechnen ergänzt. 





Analysis und lineare Algebra
Mo., 15.00 - 16.30 Uhr, BI 97.9
Prüfungsleistung: Klausur am letzten regulären Termin, Studienleistung: Abgabe von Übungsaufgaben (50%)

Zu der Vorlesung werden Notizen herausgegeben. Die spezielle Auswahl der Inhalte findet sich so in keinem mir bekannten Lehrbuch. Die Vorlesung soll einen problemorientierten Einblick in typische Fragen der Stoffgebiete geben und einen kleinen exemplarischen Überblick über wichtige Denkweisen, Erkenntnisgewinnungsverfahren und Ergebnisse der Mathematik vom alten Griechenland bis heute. Die Inhalte sind so gewählt, dass sie einen breiter angelegten Hintergrund für Lehrende an allgemeinbildenden Schulen bilden können. Die Inhalte sind nicht mit dem Ziel gewählt, dass sie alle in der Schule unterrichtet werden sollen oder können (manches ist aber auch in der Schule einsetzbar). Es geht vielmehr darum, dem zukünftigen Lehrenden eine dem Schulstoff übergeordnete handlungslenkende "Hintergrundmelodie" für seinen späteren Unterricht anklingen zu lassen, die ihm auch Anregungen zum eigenständigen Weiterlernen liefern kann.


Notizen 1,  Die Parabel als Kegelschnitt doc pdf
Notizen 2,  Tangenten ohne Differentialrechnung doc pdf
Notizen 3,   Die Ableitungsfunktion doc pdf
Notizen 4,   Weitere Ableitungsregeln doc pdf

Notizen 5
,   Der Vektorraum der Verschiebungen doc pdf

Notizen 5b,  Vektoren im Koordinatensystem doc pdf

Notizen 6, Das Skalarprodukt doc pdf


Vorlesungsskript Schroth pdf

Musterlösungen für die Aufgaben

aus Notizen 1 pdf
aus Notizen 2 pdf
aus Notizen 3 pdf
aus Notizen 4 pdf
aus Notizen 5 pdf
aus Notizen 5 pdf  (Aufgabe 2, Teilungsverhältnisse im Quadrat)
aus Notizen 5b pdf
aus Notizen 6 pdf

Vorlesungsaufgaben
Kegelschnitt doc pdf

Beispiele für Klausuraufgaben pdf

Diverses
Computerprogramm zu Abstandssummen exe




Kurzprotokolle der Veranstaltungen




Mo, 21. Oktober

Den Auftakt bildet eine Präsenzaufgabe, die eine punktweise Konstruktion einer Parabel aus ihrer Kegelschnittdefinition heraus zeigt.
pdownload der Präsenzaufabe doc pdf 

Im weitere Verlauf wird die Ortslinieneigenschaft der Parabel und - natürlich - die Parabel als Funktionsgraph betrachtet. An der Tafel wird vorgerechnet (also bewiesen), dass alle Definitionen gleichwertig sind.

mMoiremuster aus äquidistanten Kreislinien und Parallelen zeigen Kegelschnitte. Diese Moiremuster lassen Parabel, Ellipse und Hyperbel als geometrischen Ort aufscheinen.


c   Mit Hilfe eines Computerprogrammes (download exe)  erzeugte geometrische Örter (die Trennnlinien zwischen zwei Farben gehören zu Punkten gleicher Abstandssumme zu einem Punkt und einer Geraden.

c  Weitere geometrische Örter höheren Grades.

Die Parabel als geometrischer Ort wird in den Notizen 1 durch Aufgabe 1 angesprochen. Man soll das an einem konkreten Fall durchrechnen




Mo, 28. Oktober


Vorstellung der Notizen 1 (download oben).  Herleitung einer einfachen Methode um Gleichungen für Tangenten an Parabeln zu bestimmen. Hinweis auf das übergeordnete Muster "Spielen mit Termdarstellungen zur Gewinnung von Einsichten über den Funktionsgraphen".

Die Notizen 2 haben im Wesentlichen zwei Kernideen. Es geht einerseits um die Entwicklung von Funktionsausdrücken an einer vorgelegten Stelle (so kommt man zur Tangente, die als beste lokale lineare Approximation an den Graphen angesehen werden kann und andererseits um Nullstellen von Polynomfunktionen.

Bemerkungen zu den Übungen:

Am 11. November sollen Bearbeitungen der Aufgaben aus Notizen 1 abgegeben werden und zwar mindestens zwei der Aufgaben 1,2,4,5.


Mo, 4. November


Besprechung einiger Inhalte aus den Notizen 2: Entwicklun einer Polynomfunktion an einer bestimmten Stelle. Das vorgestellte Verfahren kann auf Seite 6 nachgelesen werden. Erläutert wurde auch die im Kasten auf Seite 8 gegebene Definition der Tangente als beste approximierende Gerade. Dies ist eine weitere Alternative, die ohne Grenzwerte auskommt.



Mo, 11. November


Definition der Steigung eines Funktionsgraphen an einer Stelle a über die stetige Ergänzung der Sekantensteigungsfunktion (Notizen 3, bis Seite 5).


Bemerkungen zu den Übungen (auch hier wieder: mindestens die Hälfte):

Am 25. November sollen Bearbeitungen der Aufgaben aus Notizen 2 und Notizen 3 abgegeben werden und zwar:

- Übungsaufgabe 2.2 aus den Notizen 2.
Hinweis: Für die Skizze wähle man auf der y-Achse einen anderen Maßstab als auf der x-Achse und zwar 1 LE = 10,
auf der x-Achse aber normal 1 LE = 1 (sonst sieht man nichts)

- Übungsaufgabe 2.3 aus den Notizen 2
Hinweis: Das ist eine Aufgabe, für die man evtl. etwas nachdenken muss, um einen Lösungsansatz zu finden. Dieses Nachdenken kann natürlich durch spielerisches Ausprobieren mit einem Funktionsplotter angeregt werden.

- Übungsaufgabe 3.1 aus den Notizen 3
- Übungsaufgabe 3.2 aus den Notizen 3
- Übungsaufgabe 3.3 aus den Notizen 3
- Übungsaufgabe 3.4 aus den Notizen 3


Mo, 18. November

Die Notizen 3 sind abgeschlossen.



Mo, 25. November

Notizen 4 bis zu den Winkelfunktionen behandelt (Ableitung über die Umkehrfunktion, Kettenregel und Produktregel)

Abzugeben am 9. Dezember: Die Aufgaben aus Notizen 4 (zwei von drei)


Mo, 2. Dezember


Notizen 4 abgeschlossen. Ableitung der Winkelfunktionen


Mo, 9. Dezember


- Einige Bemerkungen zum Nutzen und Nachteil von Algebraisierungen leiten die Vektorrechnung ein.

Ein hübsches mathematisches Objekt (dargestellt als Paradiesvogel) wird untersucht:

Die Kanone ist meine Assoziation, das ist nicht von Keppler

- Der Vektorraum der Verschiebungen, Beispiele für Aufgabenbearbeitungen mit und ohne Vektorrechnung (dieselben Aufgaben)

- Die Schatzsucheraufgabe:

Auf einer Schatzkarte findet man folgende Anweisung: Gehe vom Skelett geradlinig zur großen Eiche. Biege dort rechtwinklig nach links ab und lege noch einmal dieselbe Strecke geradlinig zurück. Schlage dort einen Pflock 1 ein. Kehre zum Skelett zurück.
Gehe nun geradlinig zur großen Buche. Biege dort rechtwinklig rechts ab und lege noch einmal dieselbe Entfernung geradlinig zurück. Schlage dort einen Pflock 2 ein. Suche in der Mitte zwischen den beiden Pflöcken.


Der Schatzsucher findet nun zwar die beiden Bäume, aber nicht das Skelett. Um wenigstens einen Versuch zu machen, wählt er irgendeinen Startpunkt und führt die Anweisungen genau aus. Zu seiner Freude findet er den Schatz auf Anhieb. War  das ein Zufall?"

Es war natürlich kein Zufall, die gegebene Handlungsfolge führt immer zum selben Punkt! Man kann sich das geometrisch überlegen oder mit Vektoren rechnen. Da wir zeigen wollen, wie man mit Vektorrechnung nahezu ohne Überlegung den Punkt findet, betrachten wir diesen Weg.

Was wir für die Ausrechnung noch beachten müssen (eine Schreibweise erfinden)
Den um 90° nach links gedrehten Vektor bezeichnen wir mit einem großen L in der Funktionsschreibweise (wir wenden die Linksdrehung auf den Vektor an). Analog verfahren wir mit dem um 90° nach rechts gedrehten Vektor..



Wobei wir die zweite Darstellung des Weges zum Pflock 1 verwenden werden um die Mitte zwischen den Pflöcken auszurechnen (die wir oben mit einem Stern markiert haben).


Einschub:


Bei der ersten Umformung haben wir berücksichtigt, dass die Drehung einer Verschiebungssumme gleich der Summe der gedrehten Summanden ist:


Außerdem haben wir ausgenutzt, das
 
gilt, denn die Vektoren heben einander auf.

Einschubende


Wir haben also ausgrechnet, dasss wir insgesamt die Verschiebung:


vom Startpunkt her vornehmen. Damit landen wir aber unabhängig vom Startpunkt immer an derselben Stelle:

Legt man ein Quadrat so auf Eiche und Buche, dass die Ecken eine Diagonale des Quadrats bilden, so findet man den Schatz an einer der beiden anderen Ecken!

Natürlich kann man die Aufgabe auch elementargeometrisch lösen und es ist sehr empfehlenswert, nach einer solchen Lösung zu suchen, aber wie man sieht, geht es mit Vektoren mühelos mechanisch. Das zu demonstrieren war hier die Absicht.

Zu den Übungen:
In der zweiten  Januarwoche sollen wieder Übungsaufgaben abgegeben werden und zwar wenigstens 2 der 4 Aufgaben:
Aufgabe 1 und 2 aus den Notizen 5
Aufgabe 1 und 2 aus den Notizen 5b
Die Aufgaben sind klausurrelevant!

 
Mo, 16. Dezember

Darstellung einiger raumgeometrischer Aufgaben und Bearbeitungsmöglichkeiten mit Hilfe von Vektoren. Dazu wurde ein Faltblatt ausgeteilt.
dd Download des Faltblatts pdf

Besprochen wurde u. A.: Die Berechnung des Abstands eines Punktes von einer Geraden als Minimierungsproblem aufgefasst. Danach wurde besprochen, wie die "Senkrechtbedingung" für eine andere Bearbeitungsmöglichkeit ausgenutzt werden kann.











Zum Schluss: Der Fuß der Seite

f Sollten dem Leser dieser Seiten Fehler in Orthographie, Sinn und Verstand auffallen, so bittet der Verfasser um Nachsicht und Nachricht und bittet auch darum, die Tücken der Technik (auf die auch andere hingewiesen haben) zur Entschuldigung ins Kalkül zu ziehen:




O unberachenbere Schreibmischane,

was bist du für ein winderluches Tier?
Du tauschst die Bachstuben günz nach Vergnagen
und schröbst so scheinen Unsinn aufs Papier!
d

Du tappst die falschen Tisten, luber Bieb!
O sige mar, was kann da ich dafür?

von J. Guggenmoos

 



H. Rehlich, TU Braunschweig

Meine Internetseite mit Computerprogrammen und elementarmathematischen Problemfeldern