Notizen zur Vorlesung, Sommersemester 2020, Rehlich
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Die Rätsel des Alltags sind oft kniffliger, als die der Mathematik!  Warten auf die 2. Welle?   IN beginnt mit 1

Eine einfache Schätzaufgabe:
A := Anzahl Individuen, die sich über die dusslige Coronapropaganda krank geärgert haben
B := Anzahl Individuen, die an Covid erkrankt sind
A >> B   oder   B >> A ?
>> := sehr viel größer als


Algorithmen
Problemlösen
Produktive Aufgaben
E-Modul 



E-Modul
Seminar: Di, 13.15 - 14.45 Uhr, BI 97.10


Zur Organisation:

Die ersten Wochen findet das Seminar in Form von online-Lernangeboten und gelegentlichen online-Treffen statt.
Wenn ein solches Meeting stattfindet, wird auf dieser Seite im Wochenprotokoll darauf hingewiesen und die Zeit ist dann die Seminarzeit.

Zur Teilnahme am Meeting:
https://webconf.vc.dfn.de/reh/
Raum-Passcode:  SonneMondSterne

----------------
Wenn Sie noch nie an einem Adobe Connect-Meeting teilgenommen haben:
Testen Sie Ihre Verbindung: https://webconf.vc.dfn.de/common/help/de/support/meeting_test.htm
Verschaffen Sie sich einen schnellen Überblick: http://www.adobe.com/de/products/adobeconnect.html




Hinweise zur äußeren Form der Bachelorarbeit

Spiegel und Schrift: Der Satzspiegel soll ansprechend sein. Der Steg beim Bund etwas breiter als am Außenrand. Etwa innen 3 cm, außen, oben und unten jeweils 2 cm. Man soll eine klare Schrift wählen, nichts Schnörkeliges. Times New Roman im Text und Arial für Überschriften sieht ganz gut aus. Schriftgröße 11pt und Abstand 16pt bis 18pt ist sehr angenehm zu lesen.

Man soll keinen Platz verschwenden.

Umfang: 28 Seiten (vollkommene Zahl) +/- x

Deckblatt: Titel, Name des Autors, Matr.Nr, Erstprüfer und Zweitprüfer sollen draufstehen. Institut auch.

Bitte Ringbindung für die abzugebenden Exemplare.


Wochenprotokolle, Anregungen zum Selbststudium


Woche 1, Dienstag 21. April

Halbsummenfenster

Lesen Sie diesen Text (pdf / doc) zur Einstimmung und bearbeiten Sie die Seminaraufgaben (hinten im Text). Schicken Sie dem Seminarleiter zu den Aufgaben a und b Lösungen (Worddokument oder pdf).



Woche 2, Dienstag 28. April

Nach unserer etwas hakeligen online-Sitzung habe ich mich daran gemacht, einige Bemerkungen zu Formulierungsvorschlägen von Seminarteilnehmern aufzuschreiben und zum Ausklang ein paar eigene Formulierungsalternativen vorzustellen und einzuordnen. Formulierungen pdf

! Beachten Sie vor allem die Darstellung zweier Beweisalternativen desselben Satzes. Das Beispiel ist musterhaft für Alternativen, die beim Schreiben einer BA immer wieder auftauchen und gibt einen klaren Hinweis darauf, welche Formalternative vorzuziehen ist.

bs
Welcher Beweis ist der schönere?


Wir werden es am kommenden Dienstag noch mal mit einer online-Sitzung versuchen, ich habe mir ein Profimikrophon gekauft. Den Link schicke ich noch rum.

Mit den Themenwünschen sieht es nun so aus:

t
tt

Zu 12: In meinem Artikel "Polyas Zählsatz" pdf findet sich das Verfahren, das es anzuwenden gilt, beschrieben. Darüberhinaus befindet sich dort ein Beweis des Satzes, dieser ist nicht Thema der Arbeit, vielmehr die Anwendung des Zählsatzes auf die gefärbten Polygone (gleichwertig zu bunten Ketten).

So sieht es nach einem kleinen E-Mail-Hin-und-Her nun aus. Alle Teilnehmer haben Themen (bis auf K.V.). Den Themenwunschkonflikt zwischen R.J. und T.V.A. würde ich bei der eingetragenen Lösung belassen, aber natürlich kann von den Betroffenen auch noch über die anderen noch freien Themen frei verfügt werden (beim weiteren Darübernachdenken kann sich da noch was tun, zumal alle Themen ihre schönen Seiten haben).

Wir reden darüber noch am Dienstag, wenn aber vorher noch jemand umsteuert, trage ich das gern ein.




Woche 3, Dienstag 5. Mai

Zur Planung für die individuellen Sprechzeiten habe ich jetzt doch das Forum in StudIP verwendet. Mit diesem doodle-ähnlichen Angebot bin ich nicht zurechtgekommen.





Algorithmen, von Pythagoras bis Alan Turing
Vorlesung: Di., 15.00 - 16.30 Uhr, Übung (i.d.R): Mi, 8.45 - 9.30 Uhr, BI 84.2
Klausur: Mittwoch, 19. August, 11.15 Uhr in der Stadthalle
Link zur Seite mit den Aufgabenbearbeitungen
Leistungen

Klausur für die
Prüfungsleistung. Die Klausur findet am letzten Vorlesungstermin statt.
Abgabe von Hausaufgaben für die
Studienleistung. In der Vorlesung, den Übungen und auf dieser Seite (im Protokollabschnitt) wird rechtzeitig darauf hingewiesen, wenn etwas abzugeben ist. Es werden nicht alle Übungen eingesammelt, vielmehr wird es fünf abzugebende Serien geben. Wenigstens zu drei Serien sollen Bearbeitungen abgegeben werden.


Zur Organisation:
Die ersten Wochen findet das Seminar in Form von online-Lernangeboten und gelegentlichen online-Treffen statt.
Wenn ein solches Meeting stattfindet, wird auf dieser Seite im Wochenprotokoll
und/oder per Rundmail darauf hingewiesen und die Zeit ist dann die Vorlesungszeit. Wenn Übungsaufgaben abzugeben sind (bitte im pdf-Format als Emailanhang), wird in den Wochenprotokollen auf dieser Seite weiter unten explizit darauf hingewiesen und die Aufgaben werden genannt.

Zur Teilnahme am Meeting:
https://webconf.vc.dfn.de/reh/
Raum-Passcode:  SonneMondSterne

----------------
Wenn Sie noch nie an einem Adobe Connect-Meeting teilgenommen haben:
Testen Sie Ihre Verbindung: https://webconf.vc.dfn.de/common/help/de/support/meeting_test.htm
Verschaffen Sie sich einen schnellen Überblick: http://www.adobe.com/de/products/adobeconnect.html



Bücher und weitere Materialien


Viele Inhalte der Vorlesung findet man in diesen beiden Büchern:


  1. Barth, A., "Algorithmik für Einsteiger", Vieweg 2003
  2. Engel, A., "Elementarmathematik vom algorithmischen Standpunkt", Klett 1983
  3. Schröder, E., "Mathematik im Reich der Töne", Teubner 1982
 
  [1] gibt einen systematischen Überblick zu "Theorie und Praxis" der Algorithmen.
  [2] ist ein echter Klassiker, induktiv aufgebaut, sehr inhaltsreich und mathematisch verspielt, eine wahre Fundgrube.

Maßgeschneidert zur Vorlesung gibt es die "Notizen zur Vorlesung", "Vorlesungsaufgaben" und "Diverses" (zu dem auch kleine Computerprogramme zählen. Diese Materialien werden auf dieser Seite zum Herunterladen bereitgestellt. In der Vorlesung wird ein exemplarischer Bogen mit klassischen Algorithmen und theoretischen Fragen von Pythagoras bis Alan Turing gespannt. Die Vorlesungsaufgaben bringen oft kleine in sich abgeschlossene Beispiele zur historischen und mathematischen Vernetzung.

Notizen zur Vorlesung

1. Musikalische Stimmungen, von Pythagoras bis zur zwölften Wurzel aus 2 doc pdf
    Weitere Literatur dazu:  Eberhard Schröder, "Mathematik im Reich der Töne", Teubner 1982, Inhaltsverzeichnis

2. Der euklidische Algorithmus in verschiedenen Zusammenhängen doc pdf

3. Intervallschachtelungen mit Hilfe der Farey-Addition, beste approximierende Brüche doc pdf

4. Suchalgorithmen und rekursive Verfahren doc pdf

5. Turingmaschine pdf   Leseprobe aus Barth, A., "Algorithmik für Einsteiger", Vieweg 2003
 

Computerprogramme 
Für kleine Computerprogramme verwenden wir Small Basic. Zu Small Basic schreibt "wikipedia":

"Small Basic (nicht zu verwechseln mit SmallBASIC, einem anderen, betagteren BASIC-Derivat) ist eine sehr vereinfachte und primär für Programmiereinsteiger geschaffene, kostenlos verfügbare BASIC-Entwicklungsumgebung von Microsoft. Mit Small Basic wird das Ziel verfolgt, durch schnell erlebbare Erfolge die Lernmotivation und Experimentierfreudigkeit bei Programmieranfängern zu wecken. Der Anwendungssektor von Small Basic erstreckt sich jedoch nicht nur auf Lernende, auch für den versierteren "Heim-Programmierer" kann Small Basic unter Umständen ein praktischer Alltagshelfer sein, da durch externe Bibliotheken der Funktionsumfang deutlich erweitert werden kann."

Dieser Einschätzung stimme ich bei. Ich empfehle daher sehr, sich die Software im Internet herunterzuladen. In der Vorlesung werden immer wieder kleine Programme besprochen und es macht einfach mehr Spaß, wenn man das zum Anlass nimmt, selbst ein bißchen zu programmieren.


Wochenprotokolle, Anregungen zum Selbststudium

Woche 1, Dienstag 21. April


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Bild aus den Notizen zur Vorlesung "Musikalische Stimmungen", download der Notizen oben.

Arbeiten Sie die
Notizen  1. Musikalische Stimmungen, von Pythagoras bis zur zwölften Wurzel aus 2 durch.

Für die Studienleistung:
Die Aufgaben 1 bis 3 sind in elektronischer Form bis Donnerstag, den 30. April abzugeben (also als Emailanhang an mich zu schicken).

Zur Veranschaulichung habe ich dieses Computerprogramm (exe-Datei) geschrieben. Damit kann zu den Stimmungen experimentiert werden. Beim Klick auf die Oberfläche ertönt ein Ton in der entsprechenden Frequenz.

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Im Webmeeting wird Dienstag ab 15.00 Uhr das Programm und einige Skriptstellen erläutert.




Woche 2, Dienstag 28. April

Zunächst: Die Abgabe der Aufgaben wird auf die erste Präsenzsitzung im Juni verschoben.  So können Sie sich die Zeit gemütlich einteilen und ich reduziere den Umfang im Coronasemester auf einige besonders hübsche Inhalte (wie ich finde).

In dieser Woche sollen zwei Algorithmen gelernt werden, einer stammt aus dem alten Indien, der andere aus dem alten Ägypten. Der ägyptische arbeitet auf den ersten Blick seltsam ungenau (beim Halbieren) und erzeugt dennoch richtige Ergebnisse. Der indische ist dem ägyptischen insofern verwandt, da bei ihm, wie bei dem anderen, das Dualsystem eine wichige Rolle spielt. In Vorlesungen der vergangenen Semester waren dies Präsenzübungen, bei denen zunächst nur Blatt 1 ausgeteilt wurde. Man soll die Algorithmen also durch eigenes Denken nacherfinden und nicht gleich alles lesen. Das ist keine Selbstschikane, sondern die sicherste Methode, die Inhalte tiefer zu verstehen und außerdem seine eigene mathematische Findigkeit zu verbessern. Diese ist - gegenüber dem Wissen - um ein Vielfaches wichtiger.

Zum Anwärmen des Denkapparats:
Dieses Multiplikationsverfahren nach Napier entschlüsseln Sie schnell! Es hat gegenüber unserer modernen Schreibweise einen Vorteil, der es auch für die Grundschule interessant macht. Beim Multiplizieren muss man nichts "im Sinn haben".
nRechnen Sie auch selbst gewählte Aufgaben.
Nun wird es ernst:

1. Die altägyptische Methode
a Vorlesungsaufgabe mit Lösungen und weiteren Inhalten pdf
Hier wird auf den Folgeseiten auch eine Anregung zum Programmieren gegeben.

2. Potenzieren auf indische Art
i
Diese Rechnung ist gewissermaßen ein Impfkristall für das Gehirn. Man muss also nicht 1023 Multiplikationen ausführen, sondern es reichen 10! Was macht man aber, wenn der Exponent nicht so eine bequeme Zweierpotenz ist? Das haben sich die alten Inder fein ausgedacht.
Vorlesungsaufgabe mit einigen weiteren Hinweisen pdf
Weitere Aufgaben zum tieferen Eindenken:

Was ist der größte Exponent, der auf 7 Multiplikationen führt (nach der vorgestellten Methode). Was ist der kleinste Exponent, der 7 Multiplikationen nach dieser Methode erfordert. Man erstelle eine vollständige Liste aller Exponenten, die auf sieben Multiplikationen führen. Man spiele mit dem Algorithmus in dieser Art.


Man findet diese Algorithmen natürlich auch im Internet. Die Quellenlage scheint nicht ganz so klar zu sein, manchmal wird die altägyptische Methode auch als russische Bauernmultiplikation bezeichnet und die indische Potenziermethode segelt auch unter anderen Flaggen. Eine kleine Recherche macht sicher auch Spaß und fördert weitere lehrreiche Gedanken zutage.

Hier die versprochenen Beispiele für Klausuraufgaben dazu (aus verschiedenen vergangenen Durchläufen):

1. Bei der mittelalterlichen Multiplikation muss man ein bißchen knobeln
2. Binäre Exponentiation: Verschiedene Rechenwege denkbar, ich würde über die Dualzahlentwicklung des Exponenten gehen.
3. Links: einfach durchführen, Mitte: Etwas Nachdenken (an den Korrektheitsbeweis), Rechts:  Hier reicht ein Satz.

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Viel Spaß!



Woche 3, Dienstag 5. Mai

Vorab was ich bei der online-Sitzung vergessen habe (Antworten der weiterführenden Fragen zu den beiden Algorithmen der letzten Woche):
Bei der alten Klausuraufgabe zur ägyptischen Multiplikation ergibt sich für 37.13 = 13 + 52 + 
4.104 und die "Worterklärung" kann mit "die Dualdarstellung des Multiplikators" gegeben werden.

Der größte Exponent, der bei der binären Exponentiation mit 7 Multiplikationen auskommt, ist n = 10000000 im Zweiersystem also 128. Die führende 1 steht für das Hinschreiben der Basis und die 7 Nullen für sieben aufeinanderfolgende Quadrierungen. Der kleinste Exponent, der bereits 7 Rechenschritte erfordert, muss - als Dualzahl geschrieben - also eine führende 1 haben und die weiteren Ziffern müssen drei Einsen (die stehen für zwei Operationen) und eine Null sein. Wenn diese Zahl möglichst klein sein soll, muss die Null aber an der Stelle mit dem höchsten Stellenwert stehen. Der Exponent ist damit n = 10111 (Dualzahl) also 23 im Zehnersystem.

Hochgeladen habe ich nun die Notizen 2, die sich um den euklidischen Algorithmus und seine weiteren Vernetzungen in der Mathematik ranken (der Link ist oben, gleich unter dem Link auf die Notizen 1). Ich gebe Lesehinweise:

Bis Seite 6
Da habe ich so ein paar Sachen aufgeschrieben, die zur mathematischen Bildung im weiteren Sinne gehören. Angehende Lehrer sollten die Bedeutung Euklids kennen und sich auch "die Elemente" (gibts auf deutsch) anschaffen. Es ist ja ein ganz unglaubliches Glück, dass ein über zweitausend Jahre altes Buch bis heute zu bekommen ist.

Seite 7 bis 9
Die Wechselwegnahme ist die geometrische Ausgabe des euklidischen Algorythmus und geht vermutlich auf Pythagoras zurück (der ja 200 Jahre vor Euklid lebte). Die Wechselwegnahme führte am Pentagramm (vermutlich das erste Mal) zur Erkenntnis inkommensurabler Größen und damit zur Einsicht, dass es Punkte auf dem Zahlenstrahl gibt, die nicht durch rationale Zahlen belegt sind (das ist sogar die überwiegende Mehrzahl der Zahlen, nämlich überabzählbar viele). Die Abzählbarkeit der rationalen Zahlen wird ja in der B1-Vorlesung behandelt.
Dieser Abschnitt enthält zwei Übungsaufgaben, bei denen die Kommensurabilität verschiedener Streckenlängen zu zeigen ist. Um damit zurechtzukommen, wird der erste Teil des Satzes von Haga vorgerechnet. Das gotische Kirchenfenster führt zu einem sehr überraschenden Ergebnis. Wenn man Spaß daran hat, nicht gleich "loszurechnen", sondern erst mal ein bißchen zu spielen, nehme man eine dynamische Geometriesoftware und erspiele sich das Ergebnis und suche dann erste einen algebraischen Beweis durch das Nachrechnen.

Den Inkommensurabilitätsbeweis am Pentagramm hatte ich online besprochen. Man rekapituliere das. Man kann das auch variieren, wenn man sich zwei andere Dreiecke im Pentagramm aussucht:

i
Nun muss man bloß nachweisen, dass das rote und das blaue Dreieck ähnlich sind und die Seitenlängen des blauen Dreiecks durch Wechselwegnahme aus den Seiten des roten Dreiecks entstehen. Wie begründet man das und warum folgt daraus die Inkommensurabilität der Diagonale zur Seite (die übrigens im goldenen Schnitt zueinander stehen).

Seite 10
Übungsaufgabe 3 ist sicher nicht ganz einfach. Man soll aus der Forderung (DIN-Format), dass ein mittig gefaltetes Rechteck ein ähnliches kleineres Rechteck ergibt schließen, dass in der Folge der durch Wechselwegnahme entstehenden Rechtecke irgendwann wieder ein dem Startrechteck ähnliches Rechteck vorkommt. Damit hat man dann nämlich den unendlichen Abstieg, also das Nichtendenkönnen der Wechselwegnahme bewiesen. Man nehme sich Zeit dafür und beiße sich fest!


Seite 11 bis 15
Der euklidische Algorithmus für Zahlen wird hier erklärt. Vermutlich kennt man ihn schon aus dem Basismodul, wo er in der Divisionsfassung erklärt wird (ist in den Notizen auf Seite 14).
Die Teilbarkeitsregeln auf Seite 13 braucht man zum Teil zum Beweis des e. A.. Diese Regeln sind einem durch das Rechnen ab der Grundschule natürlich so geläufig, dass nicht ganz leicht zu erfassen ist, wie man sowas "Selbstverständliches" eigentlich beweisen soll. Hier geht es also um die Rückführung auf die Definitionen.
Die verschiedenen Formulierungsvarianten des Algorithmus sollen etwas zum Reflektieren anregen.

Seite 16 bis 20
Der euklidische Algorithmus in der Form der Wechselwegnahme ist so leicht zu programmieren und das Programm ist so klar und durchsichtig, dass es hoffentlich Programmierlust weckt. Versuchen Sie es, Small Basic ist gratis, verbraucht nur lächerlich wenig Speicherplatz und hat schon eine riesengroße Fangemeinde. Man kann mit dem selbstgeschriebenen Programm dann ganz wunderbare Untersuchungen durchführen.
Die sich anschließende Effizienzbetrachtung ist typisch für die Analyse von Algorithmen. Hübsch und leicht zu verstehen ist sicherlich, dass hier die Fibonaccizahlen auftauchen. Der Beweis zur (nur!) logarithmisch wachsenden Rechenzeit ist ein Tick schwerer, man darf sich Zeit lassen. Hat man den Algorithmus programmiert, so kann man sich die Anzahl der Reduktionsschritte ausgeben lassen und hat ein nettes Untersuchungswerkzeug.

Seite 21 bis 23
Der erweiterete euklidische Algorithmus ist einerseits ein Werkzeug um Zahldarstellungen zu erhalten, andererseits spielt er in Beweisen eine wichtige Rolle. Beides sollte hier deutlich werden.

Bis hierher sollte bis zur kommenden Woche gelesen und gelernt werden.

Die Aufgabenserie 2 besteht aus den Aufgaben 1 bis 8, von denen 4 Bearbeitungen (selbst gewählt) bearbeitet und abgegeben werden (wenn normale Vorlesungen im Juni wieder möglich sind).

Nächste online-Sitzung: Dienstag, 12. Mai 15.00 Uhr, im selben web-Raum, wie diese Woche



Woche 4, Dienstag 12. Mai

Für diejenigen, die gerne etwas programmieren wollen (das ist sehr empfehlenswert, es macht wirklich Spaß), habe ich die beiden Varianten des euklidischen Algorithmus programmiert und stelle das hier zum download bereit:

sb

Wechselwegnahme.sb          Divisionsform.sb

Es handelt sich hierbei um den sogenannten Quellcode, des SmallBasic-Editors.
Man sieht, dass der kleine Austausch von x = x - y gegen x = Math.Remainder(x,y) einen gewaltigen Geschwindigkeitsvorteil mit sich bringt, denn die kleinere Zahl wird hier gleich so oft wie möglich von der größeren abgezogen (d. h.: gegen ihren Divisionsrest eingetauscht). Die Syntax des Befehls ist dabei SmallBasic-spezifisch. Ich erkläre diese kurz:
- Math.  leitet die Verwendung eines Befehls der Mathematikbefehlsbibliothek ein. Diese bietet diverse Befehle an, sobald man Math. in den Editor eingibt:
sb
Scrollt man da durch, so erhält man nacheinander einen Überblick über die vollständige Liste plus Erklärungen (!!!!). Das ist sehr bequem, gerade für Programmieranfänger, aber auch Profis wissen das zu schätzen.

Weiter im Script:

Bis Seite 24 wurde in der letzten online-Sitzung erläutert. Den erweiterten euklidischen Algorithmus sollte man unbedingt einüben und sich einfach mal ein paar Paare teilerfremder Zahlen vorgeben und daraus die 1 kombinieren. Am besten, sowohl im Probierverfahren (mit einer Liste) und dann mit dem Algorithmus. Nur so übt man die Fertigkeit ein (für die Klausur) und nur so erhält man einen lebendigen mathematischen Einblick.

Ab Seite 25 folgt etwas Neues. Zur Kettenbruchentwicklung gebe ich in einer Vorlesung natürlich immer motivierende Einstiege. Die fehlen im Skript, soviel kann man gar nicht schreiben, wie man mit Bildern und Worten an der Tafel zeigen kann. Ich empfehle daher, vorher eine Internetrecherche zu machen und dabei vor allem auf Historisches zu schauen (das Fachliche wird im Skript erklärt). Zum Beispiel hier https://mathepedia.de/Kettenbrueche.html finde ich das Kapitel Historisches und Anwendungen ganz informativ.

Im Skript auf Seite 24 wird der Bruch 31/17 behandelt. Um den "Witz" der Kettenbrüche schon hier (bevor man also überhaupt Beweise führt), zu verstehen, findet an der Tafel in normalen Semestern das Folgende statt:

Wir fragen, wie nah wir an 31/17 herankommen, wenn wir kleinere Nenner wählen (das war ja die Frage, die Huygens sich für sein Zahnradmodell stellte und gleich mit Kettenbrüchen auf die Sache "losging"). Wir machen es nun wie in der Feuerzangenbowle (watt is een Dampfmaschin, da stellen mer und janz dumm...)

Wir denken nicht (das strengt an), sondern probieren aus (das macht Spaß). Wir suchen also Brüche z/n, die nah bei 31/17 liegen, aber kleinere Nenner haben und gehen die Nenner einfach durch mit Taschenrechner:
31/17 ist ungefähr 1,823529411. Das Folgende bitte mit dem eigenen TR nachvollziehen:

Eintel:    Zweifellos liegt 31/17 näher an 2 als an 1, also ist der beste Bruch hier  2/1  Abstand: ca. 0,1765
Halbe:     4/2 ist nicht besser als 2/1, es ist ja dasselbe
Drittel:    5/3 ist kleiner als 31/17 und der Abstand zu 31/17 ist ca 0,1568      (6/3 ist wieder 2, also nichts Besseres)
Viertel:    7/4  ist kleiner als 31/17 und der Abstand zu 31/17 ist ca 0,0735  
  (8/4 ist wieder 2, also nichts Besseres)
Fünftel:   9/5  ist kleiner als 31/17 und der Abstand zu 31/17 ist ca 0,0235    
(10/5 ist wieder 2, also nichts Besseres)
Sechstel: 11/6 ist größer als 31/17 und der Abstand zu 31/17 ist ca 0,0098     (10/6 sind 5/3, Abstand s.o.)
Siebtel:   man kommt mit Siebteln nicht näher an 31/17 heran als vorher
Achtel:   ebenso
...
Wir können das Ganze viel bequemer haben, wenn wir eine Excel Tabelle machen. In die Kopfzeile schreiben wir den Nenner und in die Spalte den Zähler. Dann lässt man für jede Zelle ausrechnen, wie weit der Bruch von 31/17 entfernt liegt.

bb

Die Excel-Tabelle.xls

Blau hinterlegt: Der Wert des Bruches zu groß.
Rot hinterlegt: Der Wert des Bruches ist zu kleine
Schwarz hinterlegt: Der anzunähernde Bruch selbst.
Kreis drumherum: Ist ein Zwischenbruch der Kettenbruchentwicklung.

Wir sehen: Die Kettenbruchentwicklung trifft (bei diesem Beispiel) nicht "irgendwelche" gute Brüche, sondern stets eine der besten Näherungen in dem Sinne, dass es mit kleinerem Nenner keinen besseren gibt. Wir werden sehen, dass das nicht nur in diesem Beispiel der Fall ist, sondern immer und werden auch sehen, welche besten Brüche dabei übersprungen werden (die nicht eingekreisten sind ja auch besonders gute Brüche).

Weitere Aufgaben:
Hiermit wurde im Grunde Aufgabe 10 erledigt. Daher wird Aufgabe 9 erweitert:
Man bestimme für jeden Nenner kleiner als 55 den Bruch, der 79/55 am nächsten kommt und schaue, ob dieser Bruch sogar näher kommt, als alle anderen Brüche mit kleinerem Nenner (also genau so, wie hier für 31/17 vorgeführt wurde). Man erhält so also wieder eine Burchfolge, die nun mit 1/1 startet (denn 1/1 ist kleiner als 79/55, 2/1 ist größer, aber 1/1 ist näher dran).
Man kann das mit einer Excel-Tabelle lösen, aber es geht auch mit einem TR recht schnell.
Sodann schaue man, welche Brüche in der Folge der Näherungsbrüche der Kettenbruchentwicklung vorkommen. Was mit der "Folge der Näherungsbrüche der Kettenbruchentwicklung" gemeint ist, ist auf Seite 24 implizit definiert.
Der auf Seite 25 gezeigte Zusammenhang zum euklidischen Algorithmus zeigt eine sehr bequeme Möglichkeit, Kettenbruchentwicklungen für normale Brüche zu bestimmen.


Diese Woche wird noch Teil 3 der Notizen hochgeladen, ich werde per Email darauf hinweisen.

Nächste online-Sitzung: Dienstag, 19. Mai 15.00 Uhr, im selben web-Raum, wie diese Woche

Zur Vorbereitung

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Vorlesungsaufgabe zur falschen Bruchrechnung pdf




Woche 5, Dienstag 19. Mai

Hier ist noch einmal die in der online-Veranstaltung gezeigte Übersicht, die alle wichtigen Inhalte der Theorie zu den besten Näherungsbrüchen vorwegnimmt:
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Abb. Überblick

Die Fareyaddition erzeugt eine Intervallschachtelung, die alle besten Näherungsbrüche nacheinander als Grenzen hat. Keiner wird ausgelassen, kein anderer Bruch ist dabei. Das ist hier natürlich erst einmal nicht mehr, als eine Behauptung, es geht im Folgenden darum, einzusehen, warum das so ist. Es geht also darum, das zu beweisen.
Danach wenden wir uns dann wieder den Kettenbrüchen zu, die aus der Folge der besten Näherungen besondere Brüche "herauspicken". Doch das folgt später.

Lesehinweise zu den Notizen 3

Die ersten 4 Seiten der Notizen 3
zeigen die Technik zur Erstellung einer derartigen Intervallschachtelung.
Das ist nicht schwer, man sollte das aber an ein paar Beispielen einüben, denn nur dann wird man genug Routine bekommen, um das z. B. im Rahmen einer Klausur schnell genug durchführen zu können. Derartige Aufgaben werden in den Notizen nicht explizit gestellt, denn man kann sich da ja selbst welche stellen.

Seite 5 bringt den Beweis, der auch im online-Treffen erklärt wurde. Für den zweiten Teil wird da bemerkt: "
... analoge Rechnung für die rechte Seite". Das sollte man unbedingt selbst durchführen. Dann prägt sich das besser ein.
Dann folgt (immer noch auf Seite 5) ein Hinweis auf eine besondere Eigenschaft der Grenzen der jeweiligen Intervalle der Schachtelung. Das wird an Beispielen erklärt, die recht klein sind. Nehmen wir mal ein größeres aus dem Überblicksbild:
11/5 und 9/4 sind linke und rechte Intervallgrenze. Der Hauptnenner ist 20. Daher können irgendwelche Brüche mit Fünfteln und Vierteln einander niemals näherkommen als 1/20. Und genau das tun die beiden Brüche auch: 11/5 sind 44/20 und 9/4 sind 45/20. Der Abstand ist also 1/20. Der "Witz" liegt nun darin, dass Analoges für jede auf diese Weise erzeugte Intervallschachtelung an jeder Stelle gilt. Ist die einzufangende Zahl selbst ein Bruch, dann bricht das Verfahren ab, sonst geht es unendlich weiter. Dieser Beweis
funktioniert wieder verblüffend einfach: Man schreibt die zu beweisende Aussage hin und stellt fest, dass sie sich in die Voraussetzung umformen lässt.

Dieser Beweis endet auf Seite 6. Er wird mit Variablen geführt, aber man sieht die entscheidende Stelle bei einer Zahlenrechnung fast noch besser:
w
Das ist dann wieder für die linke Seite, der Beweis läuft für rechts ganz analog. Wenn man sich hier an dem Wort "Beweis" stört, weil es ja nur eine Zahlenrechnung ist und nicht "allgemein", ist man im Grunde schon "neuzeitlich verdorben". Der Beweis mit Variablen ist nämlich strukturidentisch, die Rechnung läuft nämlich für jede Vorgabe ganz genau gleich ab und man könnte ja z. B. sagen: Die 11 sei nur eine Bezeichnung für a, die 5 eine für b, usw.
Bevor die Variablenrechnung erfunden wurde (das war zu Keplers Zeit, im 16. Jh.) wurden Beweise gern an sogenannten paradigmatischen Beispielen geführt (d. h. sinngemäß "mustergültige Beispiele") und wir finden solche Beispiele auch in Euklids Elementen (bei dem Beweis für die Unendlichkeit der Primzahlmenge).
Die routinemäßige Verwendung vom Buchstabenrechnen (zu Keplers Zeit "Cossa" genannt), bringt auch nicht unbedingt mehr Licht in die mathematischen Zusammenhänge, sie kann einen einfachen Sachverhalt sogar verstellen. Jedenfalls fühlte Kepler das wohl manchmal so, was sein  folgender Ausspruch bezeugt:

u
Zitat von Kepler 1630, Kanone von mir

Da fiel mir zur Illustration das "mit Kanonen auf Spatzen schießen" ein. Wir werden allerdings im weiteren Verlauf an Stellen geraten, wo es mit Variablen dann tatsächlich klarer wird als mit Zahlen! Das gibt es auch und solchen Stellen könnte man die algebraische Methode natürlich vorbehalten. Der Kanonenschuss ist nämlich nicht nur ein zu "starkes Mittel", er kann sogar das betrachtete Objekt so "zerfleddern", dass man danach nichts mehr sieht, also weniger, als am Zahlenbeispiel.

Danach, immer noch auf Seite 6, wird der entscheidende Satz (das ist dann der dritte) vorbereitet. Es gibt keinen Bruch mit kleinerem Nenner, als den durch die Fareyaddition erzeugten (=Summe der vorherigen Nenner), der zwischen den beiden Ausgangsbrüchen liegt (die die Voraussetzung ad-bc=1). Man überlege sich, solange, bis es wirklich sonnenklar im Kopfe wird, dass mit dem Beweis von Satz 3 dann bewiesen ist, dass die Intervallschachtelung mit der Farey-Addition wirklich alle besten Brüche "abklappert" und niemals einen nichtbesten trifft.

Wenn man das einsieht, wird es nämlich ein unbedingter innerer Drang, den Beweis von Satz 3 zu verstehen. An dem hängt die ganze Sache. Satz 3 ist der schwerste der ersten drei Sätze und dieser Beweis ist durchaus nicht so einfach und trivial, wie die Beweise der Sätze 1 und 2. Damit darf man also gut und gerne Schwierigkeiten haben.

Was ist zu tun? Das Beste ist immer, dass man erst mal keinen Beweis liest, sondern guckt, ob man selber einen erfinden kann. Dazu kann man ordentlich rumrechnen und sich erstmal auf der Zahlenebene bewegen. Man trägt einfach Brüche mit der vorgegebenen Eigenschaft auf dem Zahlenstrahl ein und schaut mal, bis zu welchem Nenner man gehen muss, um einen Bruch dazwischen zu bekommen. Da merkt man sofort, dass die Voraussetzung wichtig ist, etwa an diesem Beispiel:

y
Wir haben zwischen den Ausgangsbrüchen tatsächlich einen Bruch gefunden, dessen Nenner kleiner als der Nenner 9 ist, den wir mit Hilfe der Farey-Addition bekommen. Natürlich liegt 22/9 = 2,444... auch zwischen den Ausgangsbrüchen, das ist keine Frage, aber es gibt noch einen weiteren mit kleinerem Nenner, der dies auch tut. Wenn nun eine Intervallschachtelung gemacht wird, könnte also 17/7 näher an der zu approximierenden Zahl liegen, als 22/9. Wir würden dann einen besten Bruch überspringen. Das wäre unmöglich (das Überspringen), wenn es gar keinen weiteren Bruch, als den mit Hilfe der Farey-Addition gewonnenen gäbe, der zwischen den Ausgangsbrüchen liegt. Und genau das ist der Fall, wenn die Ausgangsbrüche die Bedingung ad-bc=1 erfüllen, was die beiden hier gewählten nicht tun.
Das zeigt uns, dass diese Voraussetzung beweisrelevant ist und liefert damit bereits einen Hinweis, der das Denken lenken kann.
Ich habe zwei Beweise aufgeschrieben. Der erste ist der übliche, der ist elegant, aber sicherlich im Nachhinein ausgefeilt. Er verrät gar nicht, wie man darauf kommen kann. Den zweiten habe ich mir ausgedacht, um zu zeigen, dass man auch mit einer gewissen Grobheit darangehen kann.
Aber wie gesagt: Erst selbst probieren und dann die Beweise ansehen, nachvollziehen, verstehen, Papier abdecken, einmal ganz selbst machen. Nur so versteht mans dann irgendwann ganz.

Man sollte bis Seite 17 lesen, ich knüpfe in der nächsten online-Sitzung bei Satz 2 an und erläutere schwierige Stellen.

Zur Selbstkontrolle kann man schon probieren, welche Aufgaben der Notizen 3 man bereits lösen kann. Ich gebe auf dieser Seite demnächst weitere Informationen, wie wir mit der Studienleistung verfahren wollen.




Woche 6, Dienstag 26. Mai

Für die Studienleistung verfahren wir so:
Die Studienleistung ist bestanden,

wenn von genau einer Aufgabenserie mindestens die Hälfte der Aufgaben bearbeitet wurde und
das in "veröffentlichungsschöner Form" geschehen ist (maschinegeschrieben im Idealfall, aber eingescanntes Handgeschriebenes wird auch aktzeptiert) und
die Bearbeitung bis zum 15. Juni bei mir eingegangen ist.

Ich lege eine Unterseite der Notizen an, auf der zu jeder Aufgabe eine Reihe von Bearbeitungen aus den bei mir eingegangenen in anonymisierter Form vorgestellt wird. Auf Charakteristika der Bearbeitungen wie "Musterlösung", "alles richtig, aber logisch unvollständig, weil...", "besonders schöne oder kreative Idee, keine Standardlösung", "besonders hübscher Irrtum", "normaler Irrtum", etc. weise ich ggf. in Kurzkommentaren hin. Die Produktion von Irrtümern und Fehlern steht dem erfolgreichen Bestehen nicht im Wege (das soll aber keine Aufforderung dazu sein).

Bei der online-Sitzung am 26. Mai wurde zum Schluss erläutert, wie man per Hand eine Kettenbruchentwicklung durchführt, ohne den euklidischen Algorithmus in der Weise, wie es in den Notizen dargestellt wird zu verwenden (die Darstellung im Skript zeigt aus meiner Sicht eine besonders übersichtliche und einfache Methode, allerdings zeigt die "naive Methode", die ich in der online-Sitzung zeigen wollte, die Grundidee eingängiger).

Auf dem kleinen Whiteboard des Webraums ging das nicht so gut, ich zeige es daher hier noch einmal ausführlich. Links steht immer das, was man aufschreibt, rechts die Erläuterung, die man natürlich nicht mitschreibt. Die verwendeten Variablen y, z, s usw. sind nur Platzhalter für die Ausrechnung der jeweils größten herausziehbaren Zahl.

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Man schreibt das Endergebnis nun also mit einem Periodenstrich:

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Nun schauen wir zum Kontrast auf die Aufschreibmethode mit dem euklidischen Algorithmus, der ja immer das größtmögliche Ganze aus dem jeweils größeren herauszieht. Man startet mit dem Paar Wurzel(14), 1. Man formt die Folgepaare solange um, bis die kleinere Zahl als natürliche Zahl dargestellt ist, denn dann sieht man, wie oft diese in die größere Zahl hineinpasst.

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Die Durchführung dieses Algorithmus soll händisch gekonnt werden. Es ist aber offensichtlich, dass man sich dafür auch ein kleines Computerprogramm schreiben kann. Ich habe das getan und stelle dieses Programm hier zur Verfügung. Wenn man weitere Fälle zur Übung durchrechnet, kann man seine Ergebnisse mit dem Programm überprüfen.


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Download des Programms QuaKEn exe (Quadratische Irrationalitäten in Kettenbruchentwicklung). Das Programm zeigt wahlweise die Klammerschreibweise oder die Bruchschreibweise an und zeigt auch die Näherungsbrüche und weitere Informationen zur Kettenbruchentwicklung an. Es muss nicht installiert werden, man startet es einfach durch einen Doppelklick.

Nun liegt es natürlich nahe, dass man die Intervallschachtelung nach Farey macht. Wenn man das Skript bis zu den Fordkreisen durchgearbeitet hat, ist klar, was da passieren wird. Wir haben die Näherungsbrüche

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und sehen, dass die beiden ersten bereits ein Intervall bilden, das die Wurzel aus 14 enthält. Wir wissen, dass die Teilnennerfolge 1, 2, 1, 6 uns darüber Auskunft gibt, wie oft jeweils eine Seite der Intervallschachtelung hintereinander verbessert wird. Hier wird das noch einmal grafisch dargestellt:

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Hier sieht man schön, wie die Wurzel in einen "Trichter" läuft und dass die Näherungsbrüche der Kettenbruchentwicklung als besondere Intervallgrenzen der mit Hilfe der Farey-Addition erzeugten Intervallschachtelungen vorkommen. Der letzte angegebene Bruch ist übrigens schon auf ein Zehntausendstel genau, obwohl sein Nenner nur 89 ist.

Erläuterung und Beweis dazu steht in den Notizen bis Seite 15. Für die Klausur soll das Verfahren gekonnt werden und die auf Seite 16 unten zusammengefassten Aussagen sollen gewußt werden. Nach Beweisen dieser Aussagen wird in der Klausur aber natürlich nicht gefragt.


Beim nächsten online Treffen, werden die Farey-Brüche und Ford-Kreise besprochen. Dieses Kapitel sollte also vorher durchgearbeitet werden. Dass nächste Treffen findet in der Woche nach der Exkursionswoche statt.





Woche 7, Dienstag 8. Juni

Für diese Woche gibt es einen Themenwechsel. Wir lernen zunächst ein klassisches Suchverfahren kennen, dessen Grundidee sehr universell einsetzbar ist. Ich glaube, dass man das sogar selbst erfinden kann, wenn man ganz naiv an ein passendes Problem herangeht. Passend ist hier z. B. der folgende Klassiker:

Frage: Kann man 8 Damen so auf einem Schachbrett plazieren, dass keine Bedrohung entsteht. Dazu muss man wissen, dass die Dame beliebig weit senkrecht, waagerecht und diagonal schlagen kann. Zwei Lösungen für ein kleineres Dameproblem auf einem 5x5-Feld sind schnell gefunden:

1    2

Man kann die Lösungen natürlich drehen und spiegeln und so weitere äquivalente Lösungen erhalten. Das ist schön langweilig. Spannend ist die Frage, wieviele wesentlich verschiedene Lösungen es gibt und wie man diese finden kann.

Bevor man die Erläuterungen in den Notizen 4 liest, sollte man nun auf jeden Fall versuchen, auf einem 8x8-Feld wenigstens eine zu finden. Denn eins ist klar:

Denken ist interessanter als Wissen, aber nicht als Anschauen
(Goethe)

Bei einiger Zähigkeit wird man sicher eine Möglichkeit finden und vielleicht sogar ein Verfahren, das intelligenter ist, als das im Skript vorgestellt. Im Skript wird nämlich auf ein ziemlich stures Probierverfahren hingewiesen, das auf jeden Fall alle Lösungen findet und - falls es keine gibt - auch diese Erkenntnis absichert. Will man das im Skript vorgestellte vorher selbst finden, sollte man also nicht zu mathematisch denken, sondern eher nach einer hinreichend einfachen Systematik suchen.

Mein Computerprogramm dazu (exe)

Das dümmste Verfahren sei auch erwähnt (damit man sieht, dass das im Skript beschriebene schon deutlich besser als das dümmste Verfahren ist):
Für die erste Dame gibt es 64 potentielle Felder, für die zweite gibt es 63 potentielle Felder, usw. Man hat also 64 mal 63 mal 62 mal 61 mal 60 mal 59 mal 58 mal 57 = 178.462.987.637.760 unterschiedliche Möglichkeiten, 8 Damen nacheinander zu platzieren. Da die Reihenfolge des Hinstellens egal ist, dividieren wir noch durch 8,7,6,5,4,3,2,1 und erhalten so 4.426.165.368 verschiedene Möglichkeiten (64 über 8, allerdings sind hier noch die gedrehten und gespiegelten mit drin). Egal.
Programmieren wir nun einen Computer, der es schafft, in einer Sekunde 100 Möglichkeiten zu erzeugen und auf Konfliktfreiheit zu prüfen, so dauert das immerhin über 40 Millionen Sekunden. Das sind aber ca. 500 Tage.

Nun kann man natürlich auch gleich im Skript lesen und sicher auch das Wesentliche gleich verstehen (man hat sich dann nur um den Spaß gebracht!). Also: Erst selbst probieren, dann in den Notizen lesen.
Nach der Erklärung folgen einige Bemerkungen dazu, wie man das Programmieren kann. Aber keine Panik, das ist nicht relevant für die Klausur, das ist was für diejenigen, die Lust haben, sich mit sowas zu befassen.

Die Absicht der Vorlesung zielt darauf, dass man das Verfahren verstehe und auf andere Probleme übertragen kann und händisch durchführen kann.

Um das nun einzuüben, stehen auf den Seiten 5 und 6 einige recht unterschiedlich anmutende Aufgaben aus verschiedenen Bereichen der Mathematik auf die man das Verfahren analog übertragen kann (auf durchaus verschiedene Arten!). Darüber sollte man also nachdenken, das ist sozusagen Aufgabe 0, die da im Lehrtext integriert ist.

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Dann wird eines dieser Probleme aufgegriffen (das Rucksackproblem, das ist ein Klassiker der Informatik!) und gezeigt, wie man das mit Hilfe eines rekursiven Verfahrens wesentlich eleganter als mit Backtracking lösen kann. Daraus habe ich eine Aufgabe gemacht. Wieder mal zum Selbstausdenken, aber ein Tip ist auch dabei.
Das Problem mag erst mal sehr "theoretisch" klingen, das ist es aber nicht. Will man z.B. Sachen zur internationalen Raumstation bringen und kann nur so und so viel Gewicht mitnehmen, so wird man Sachen (z. B. Experimente) mit maximalem Gesamtwert (für die Wissenschaft) mitnehmen wollen. Dann muss man den Wert natürlich irgendwie definieren. Das Gewicht ist leichter mit Hilfe einer Waage festzustellen.

Dann wird das rekursive (Listenverfahren) noch auf ein klassisches zahlentheoretisches Problem losgelassen, auf das man schon Grundschüler loslassen kann:

Wie viele Plusaufgaben gibt es mit dem Ergebnis 10?
10 = 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
     = 5 + 5
     = 3 + 4 + 4
usw.

Der Mathematiker träumt dann schnell davon, diese Frage für alle n durch die Angabe einer Funktion f(n) zu klären. Dieser Traum ist nun schon einige hundert Jahre alt und zumindest ist der Traum ausgeträumt, dass es da eine einfache Funktion gibt.
Sehen Sie sich dazu den Vortrag von Ken Ono an:
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 Die Partitionszahlen   New Theories Reveal the Nature of Numbers

Eine schöne und einfache Methode zur rekursiven Berechnung werden wir aber unter die Lupe nehmen

Erläuterungen wieder zur Vorlesungszeit im virtuellen Raum am kommenden Dienstag







Woche 8, Dienstag 15. Juni

Das erste (kleine) Thema für diese Woche ist ein Algorithmus, der die Werte der Winkelfunktionen berechnet.
w
Das war in "normalen Zeiten" eine Vorlesungsaufgabe, die im Hörsaal ausgeteilt wurde und dann besprochen wurde. Ich habe das für unser Semester noch um die Aufgabe erweitert, eine kleine Realisation mit Excel herzustellen. Meine Lösung sieht auf der Oberfläche so aus:

q
Ich finde das ganz hübsch, so wie bei der altägyptischen Multiplikation haben wir links wieder einen Halbierungturm (nun wird aber genau halbiert!). Anders ist, dass man erst links runterrechnet (man halbiert den Winkel solange, bis er kleiner als 1 ist, dann rechnet man von links nach rechts und hat den Kosinus dieses kleinen Winkels (für kleine Winkel ist das leicht, siehe Text) und dann rechnet man von unten nach oben. Hat man nämlich den Kosinus eines Winkels, so kann man den Kosinus des doppelten Winkels leicht berechnen. Das ist die algorithmische Grundidee.

Das Aufgabenblatt pdf

Das zweite Thema handelt von Zahldarstellungen. P-adische Zahlen (Dualsystem, Fünfersystem, etc.) erfreuen sich allgemeiner Bekanntheit, wenn es um die Darstellung ganzer Zahlen geht. Wir betrachten auch gebrochene Zahlen.

y
Fragt man sich nun, wie man etwa 0,7 (im Zehnersystem) als Dualzahl umschreibt, so findet man die Antwort in den
Notizen 5, Zahldarstellungen pdf.


Desweiteren wird ein zahlentheoretisches Problemfeld angerissen, nämlich die Darstellung von Brüchen als Summe von Stammbrüchen.
Ergänzend zum Skript gebe ich hier noch ein Arbeitsblatt, dass ich vor drei Jahren in einem Zirkel für mathematisch begabte Schüler an der Universität Hambur verwendet habe (Link zum Schülerzirkel)

2
Das Arbeitsblatt.pdf

Ganz am Ende des Arbeitsblattes findet man noch einen Hinweis auf bis heute nicht gelöste Fragen zu diesem zunächst doch recht einfach anmutenden Thema.

Also: Nicht wundern, wenn da einiges etwas schwer erscheint, das ist ein Jahrtausende altes Thema, in das wir nur in die Anfangsgründe hineinschnuppern, weil es auch algorithmisch sehr interessant ist.


Am Dienstag zur gewohnten Zeit gebe ich ein paar Erläuterungen
















Problemlösen in der Mathematik und im Mathematikunterricht
Vorlesung mit kleinen Übungen, Mittwoch 16.45 bis 18.15
Klausur am letzten Semestertermin der Vorlesung
Leistungen

Zwei Schriftstücke sollen bis zum 31. August 24.00 Uhr abgegeben werden (Präzisierung folgt)
Diese sollen mit einer Textbearbeitung erstellt worden sein und als pdf an meine Insitutsemailadresse geschickt werden.
Es darf zu zweit gearbeitet werden, dann reicht ein Abgabeexemplar mit beiden Namen. 

1. Eine frei gewählte Aufgabe aus dieser Zusammenstellung oder die unter diesem Absatz gestellte Aufgabe soll bearbeitet werden. Die Bearbeitung soll ein paar Hinweise zu Ihren Denk- und Findungsprozessen offenlegen.
Ich erinnere als Beispiel an den Bericht von van der Waerden über die Vermutung von Baudet, den ich auf unsere Seite gestellt habe. Natürlich wird das mit den Schülerzirkelaufgaben aber nicht so ein "dicker Hund", ich nenne das nur so als ungefähre Richtung. Sie könnten bei Ihrer Bearbeitung knapp mit aufschreiben, ob Sie verschiedene Ansätze ausprobiert haben, wie es kam, dass Sie zu Ihrer Lösung gefunden haben (Einfall oder Überlegung), ob Sie Analogien zu anderen Problemen nutzen konnten die Sie kennen und wieviel das ggf. geholfen hat, ob erst eine explorative Phase vorherging etc. Ob es erst eine "Falle" gab, zu formalistisch ranzugehen usw. usf. Nichts Großes und breit Angelegtes, aber so, dass man sich als Dritter ein Bild machen kann, wo der Autor (also Sie) die Knackpunkte sieht, wo es Weggabelungen gibt etc. Also nicht einfach nur knapp und schlank und schreibarbeitsoptimiert (wie bei Übungsaufgaben, wo man nur seinen Punkt will). Manchmal gibt es ja auch mehrere Beweismöglichkeiten, auch dazu kann man dann ein paar Worte verlieren und manchmal hat man - bevor man mit dem Beweisen loslegt - eine plausible Vermutung a la Polya.
Man kann mustergültige Spezialfälle aufzeigen, die im Grunde schon die allgemeine Lösung evident machen. Sie können auch auf hübsche Anschlussprobleme hinweisen etc. Die Offenheit des Themas "Problemlösen in der Mathematik und im Mathematikunterricht" lässt Ihnen viel Raum für freie Gestaltung.  Hier ist also einerseits der mathematische Inhalt gefragt und darüberhinaus so eine Reflexion auf der Metaebene, ein Denkarbeitsbericht.
Umfang: 6 bis 10 Seiten.

Alternativ zu einer Aufgabe aus den Schülerzirkeln kann auch diese Aufgabe gewählt werden. Mir hat die Bearbeitung Spaß gemacht und ich habe gesehen, dass man sowohl mit dem Holzhammer erfolgreich sein kann, als auch mit sehr wenig "rechnen" auskommen kann, wenn man eher geometrisch denkt:

Die neue Aufgabe:


Die eigentliche Aufgabe ist c), a) und b) sind relativ trivial.

2. 2. Erfinden Sie selbst eine Aufgabe für so einen Schülerzirkel und bringen Sie da thematisch etwas von den zahlreichen historischen Bezügen unter, die im Seminar thematisiert wurden. Dabei heißt "historisch" für mich nicht nur altgriechisch, das geht bis Euler, Gauß und Newton. Aber altgriechisch ist natürlich auch immer schön.
Schreiben Sie hier nun ganz knapp auf, was die Schüler dabei aus Ihrer Sicht tun und lernen können. Also, hier wirklich knapp, eine Aufgabe, vielleicht eine halbe Seite und dann in Stichworten Handlungsoptionen und Lernziele.
Insgesamt 2 Seiten höchstens.





Zur Organisation:

Die ersten Wochen findet das Seminar in Form von online-Lernangeboten und gelegentlichen online-Treffen statt.
Wenn ein solches Meeting stattfindet, wird auf dieser Seite im Wochenprotokoll darauf hingewiesen und die Zeit ist dann die Seminarzeit.

Zur Teilnahme am Meeting:
https://webconf.vc.dfn.de/reh/
Raum-Passcode:  SonneMondSterne

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Wenn Sie noch nie an einem Adobe Connect-Meeting teilgenommen haben:
Testen Sie Ihre Verbindung: https://webconf.vc.dfn.de/common/help/de/support/meeting_test.htm
Verschaffen Sie sich einen schnellen Überblick: http://www.adobe.com/de/products/adobeconnect.html




Zielrichtung


Einen Reiz des problemorientierten Lernens hat Lichtenberg in einem Aphorismus zum Ausdruck gebracht:

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Abb. 1
Link: Georg Christoph Lichtenberg, Meister der Gedankenblitze

Bernd Zimmermann weist auf die innermathematische Relevanz als weiteres Argument für einen genetisch orientierten Unterricht hin:

b
Der ganze Artikel als pdf

Wir werden in der Veranstaltung sowohl mathematisch inhaltliche Beispiele behandeln, als auch Überlegungen zur Didaktik und Methodik eines problemorientierten Unterrichts kennenlernen und uns auch selbst an kleinen Problemlöseprozessen versuchen, denn der Selbstversuch ist stets lehrreich.



Materialien, kleine Artikel und Kapitel wichtiger Literatur zum Thema


1 Artikel von Bernd Zimmermann zur Problemorientierung pdf

2 G. Polya: Kapitel aus "Vom Lösen mathematischer Aufgaben" pdf

2 H. Hischer: Klassische Probleme der Antike pdf

3 György Pólya, 1887 – 1985. Zur Biographie, zum Lebenswerk und zu seiner Wirkung auf die Mathematikdidaktik  pdf

4 G. Polya (Kapitel aus Band 2 des "Plausiblen Schließens (s.u.): Die nächstliegenden Strukturen pdf

5 G. Polya (Kapitel aus Band 1 des "Plausiblen Schließens (s.u.): Induktion in der Geometrie des Raums pdf

6 G. Polya (Kapitel aus Band 1 des "Plausiblen Schließens (s.u.): Induktion in der Zahlentheorie pdf

7 G. Polya (Kapitel aus Band 1 des "Plausiblen Schließens (s.u.): Das isoperimetrische Problem pdf


Aufgabenblätter und Lösungshinweise


Selbst zu erfindende Kongruenzsätze pdf

Eine Serie von Arbeitsblättern für Schüler aus dem Hamburger Förderprojekt für Hochbegabte:

Hilberts Axiomensystem, Erklärungen und Aufgaben pdf
1. Anschlusssitzung, weitere Geometrien pdf
2. Anschlusssitzung, andere Repräsentanten für das Axiomensystem pdf
3. Anschlussitzung, Kongruenzsätze, die keine Axiome sind pdf





Nachdenkliches (meist Kritisches zu Modeerscheinungen im Bildungssystem)


"Mit Vera hat Nick leichtes Spiel" 11.08.2016, FAZ Feuilleton, von Hans-Jürgen Bandelt, Astrid Baumann, Wolfgang Kühnel, Franz Lemmermeyer, Thilo Steinkrauss.

Macht Pisa dumm? von W. Meyerhöfer auf den Nachdenkseiten

Eine pointierte Stelle aus dem Interview mit Wolfram Meyerhöfer :
"Würden Sie denn behaupten, dass PISA in diesem Sinne unwissenschaftlich ist?
Das kommt darauf an, was man für Wissenschaft hält. Wenn Wissenschaft das ist, was die Meinungsführer unter jenen Leuten sagen, die von der Regierung das meiste Geld für etwas bekommen, was „Wissenschaft“ genannt wird, dann ist PISA natürlich Wissenschaft. Im Mittelalter gehörten in diesem Sinne die elaboriertesten Theorien zur Hexenverbrennung ja auch der wissenschaftlichen Speerspitze an."


Die Jahrestagung der mathematischen Gesellschaft Hamburg 2015 hatte zum Thema: "Die Totalität der Kompetenzorientierung und ihre Folgen" Das Programm gibt weitere Stichworte für die eigene Suche.

"Im Rausch der Kompetenzen"  von Gerhard Riegler (Quelle über dem Text) pdf
   


Literatur


Avital, S. M.; Shettleworth: Ziele des Mathematikunterrichts. Ideen für den Lehrer. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 1983.

Christmann, N.: Einführung in die Mathematikdidaktik. UTB 959, Schöningh, Paderborn 1980.

Claus, H. J.: Einführung in die Didaktik der Mathematik. WBG Darmstadt, 1989.

Czwalina, Arthur: Archimedes, WBG Darmstadt, 1983.

Ernest, P.: Mathematics Teaching. The State of the Art. The Falmer Press, London 1989.

Freudenthal, H.: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Bd. 1 u. 2. Klett Studienbücher 1973.

Gardner,H.: Dem Denken auf der Spur. Der Weg der Kognitionswissenschaft. Klett-Cotta, Stuttgart 1989.

Heinrich, F.  Zimmermann, B. (Hrsg.):  Problemlösen und Heuristik im Mathematikunterricht - in verschiedenen Ländern und Zusammenhängen. Der Mathematikunterricht Jahrgang 47, Heft 6, Dezember 2001.

Kießwetter, K.: Unterrichtsgestaltung als Problemlösen in komplexen Konstellationen - Welche Ansatzpunkte liefern die Untersuchungen des Kognitionspsychologen D. Dörner für das Verständnis der dabei auftretenden Anforderungen und Phänomene und für eine Revision der Lehrerausbildung? In: F. Padberg, Beiträge zum Lernen und Lehren von Mathematik, Kallmeyer Seelze, 1994.

Kießwetter, K. (Hrsg.): mathematiklehren Heft 58, Juni 1993, Thema: „Vernetzung“.

Minsky, M.: Mentopolis. Klett-Cotta, Stuttgart 1990.

Pólya, G.: Vom Lösen mathematischer Aufgaben. Bd. I + II, Birkhäuser, Basel, Stutt-gart, 1966.

Pólya, G.: Mathematik und plausibles Schließen. Bd. I + II. Birkhäuser, Basel, Stutt-gart 1969 bzw. 1954.


Popp, Walter: Didaktik der Mathematik. Aulis 1999.

Roth, G.: Das Gehirn und seine Wirklichkeit. Kognitive Neurobiologie und ihre philosophischen Konsequenzen. suhrkamp taschenbuch wissenschaft 1275. Frankfurt 1997.

Tietze, U.-P.; Klika; Wolpers, H.: Didaktik des Mathematikunterrichtes in der Sekundarstufe II. Vieweg, Braunschweig 1982 (neue Auflage 1996 und Aufteilung in 2 Bände).

Winter, H.: Entdeckendes Lernen im Mathematikunterricht. Vieweg, Braunschweig 1989.

Zimmermann, B. (Hrsg.): Problemorientierter Mathematikunterricht. Franzbecker, Bad Salzdetfurth 1991.

Zech, F.: Grundkurs Mathematikdidaktik: Theoretische und praktische Anleitungen für das Lehren und Lernen von Mathematik, Beltz 1998



Wochenprotokolle, Anregungen zum Selbststudium

Woche 1, Mittwoch 22. April


Erarbeiten Sie sich den Artikel "Mathematisches Problemlösen in einem Schulbuch" von Bernd Zimmermann. Neben den theoretischen Erwägungen sind die inhaltlichen Beispiele interessant, denn sie geben konkrete Anregungen.

Eine derartige Anregung habe ich in meiner Zeit als Lehrer aufgegriffen und dazu ein Schülerarbeitsblatt gemacht:
kdownload des Arbeitsblatts pdf
Bearbeiten Sie auch dieses Arbeitsblatt. Es ist - wenn auch sehr elementar - schon eine kleine Herausforderung, sich zu überlegen, welche der Vorgaben einen weiteren Kongruenzsatz implizieren. Man "beweist"* das dadurch, dass man nachprüft, dass die Vorgaben nur auf genau ein Dreieck passen können. Dabei kann konstruktiv oder analytisch gedacht werden. Man beachte, dass die Angabe einer Konstruktion (in Platos Sinne mit Zirkel und Lineal) noch mehr wäre. Sich also Konstruktionen auszudenken, ist eine weitere kreative und spaßbringende Tätigkeit.

*Man bedenke, dass in Hilberts Axiomensystem zur Geometrie der Kongruenzsatz SWS enthalten ist. Innerhalb des hilbertschen Systems kann dieser also gar nicht bewiesen werden. Die alte (griechische) Auffassung sieht Axiome (zuerst in zeitloser Klarheit und Eleganz in Euklids Elementen) als unbedingt wahre Sätze über "Dinge" an, wobei das "Ding" in diesem Sinne also die platonische Idee des Dreiecks wäre. Die Wahrheit des Satzes (Axiom=Satz, der keines Beweises bedarf und keines Beweises fähig ist) lässt sich also nur in der Welt der Ideen behaupten. Die realen Dinge sind nur schwache Abbilder. Dieser philosophischen erkenntnistheoretischen Sicht gesellt sich seit dem 20. Jh. eine formallogische hinzu, in der Axiome gewissermaßen als frei wählbare Grundannahmen aufgefasst werden und einzig die logische Zusammenhangsstruktur des Systems eine Rolle spielt. Das hat Hilbert mit seiner Verbildlichung (man könne statt von Punkte und Geraden auch von Bierseideln und Tischen sprechen) unterstrichen. Das heißt natürlich nicht, dass es unter den Mathematikern keine Platoniker mehr gibt. Nach meiner Beobachtung ist das sogar die klare Majorität (Hilberts Axiome z. B. weichen von der alten Forderung nach Evidenz ja durchaus nicht ab). Der moderne Mathematiker vermeidet nur philosophisches Glatteis, denn da ist mit seinen Mitteln ja überhaupt keine Erkenntnis zu gewinnen, da geht es letztlich um metaphysische Fragen. Aber das nur nebenbei.

Für unsere Aufgabe heißt das nun, dass eine logisch einwandfreie anschaulich evidente Begründung dafür, dass es zu den gewählten drei Größen nur ein Dreieck geben kann (die Wahl also erzwingt, dass alle Seitenlängen und Innenwinkel übereinstimmen, evtl. im umgekehrten Drehsinn, also gespiegelt) als "Beweis" akzeptiert wird. Natürlich kann man auch versuchen, die neuen Kongruenzsätze allein unter Verwendung des hilbertschen Axiomensystems zu beweisen, dass wäre dann ein formal ausgefeilter Beweis, aber sicher nichts für die Mittelstufe, für die diese Aufgabe ja erdacht wurde.

Hier ist eine Serie von Arbeitsblättern für Schüler aus dem Hamburger Förderprojekt für Hochbegabte:

Hilberts Axiomensystem, Erklärungen und Aufgaben pdf
1. Anschlusssitzung, weitere Geometrien
2. Anschlusssitzung, andere Repräsentanten für das Axiomensystem
3. Anschlussitzung, Kongruenzsätze, die keine Axiome sind

Wir treffen uns mit den Schülern Samstags, eine Sitzung dauert drei Stunden.




Woche 2, Mittwoch 29. April

Auf dem Arbeitsblatt der letzten Woche findet sich ein Hinweis auf ein Kapitel eines Buches des ungarischen Mathematikers George Polya, der einige Standardwerke zum Problemlösen geschrieben hat. Polya war ein sehr vielseitiger und international anerkannter Mathematiker (im empfehle eine Internetrecherche) und ist bis heute die fundierteste Ideenquelle für problemorientierten Mathematikunterricht.Zum Einlesen diene das folgende Kapitel

G. Polya: Kapitel aus "Vom Lösen mathematischer Aufgaben" pdf

Ein ergiebiges Feld für schöne Anregungen zum problemorientierten Unterricht bietet die Geschichte der Mathematik und hier vor allem die klassischen Probleme des griechischen Altertums:

Die Winkeldreiteilung, das delische Problem und die Quadratur des Kreises

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Zum delischen Problem habe ich einen Artikel verlinkt, der hübsche antike "Lösungen" des mit Zirkel und Lineal unlösbaren Problems zeigt.


In seinem Artikel
"Klassische Probleme der Antike - Beispiele zur   „Historischen Verankerung" pdf

gibt Horst Hischer eine Fülle von Anregungen:
- Die Entdeckung der Inkommensurabilität im Pentagramm
- Die Quadratrix,– die Trisectrix und die archimedische Spirale und die Zusammenhänge mit den drei  klassischen Probleme.
Die Anregungen sind für den Schulunterricht ausgearbeitet.

Aufgaben zum Selbststudium:

-Für die folgenden Aufgaben muss der Konstruktionsbegriff nach Plato klar sein, notfalls also bitte nachlesen.

-Überlegen Sie auch selbst, wie die Quadratrix zur Winkeldreiteilung und zur Quadratur des Kreises verwendet werden kann und welchen "Unterrichtsstoff" man dazu minimal benötigt. An diesen Stellen finde ich die im Artikel angesprochenen Lösungen nicht so ideal.

-Die Unlösbarkeit des delischen Problems (die dem Orakel von Delphi vielleicht bekannt war, woher auch immer) ist relativ leicht zu beweisen, wenn man einen "Dreh" findet. Im verlinkten Artikel wird auf die Galois-Theorie verwiesen, die hier allerdings nicht wirklich nötig ist, wenn man den besagten "Dreh" findet. Diesen selbst ganz nachzuerfinden ist aber sicher zu viel verlangt, man braucht Anregungen. Verwenden Sie diese (nach dem Lesen des Artikels):

Wir gehen vom geometrischen Konstruktionsbegriff nach Plato aus und fragen, welche Punkte in der x-y-Ebene konstruierbar sind, wenn man mit den beiden einzigen Punkte (0,0) und (1,0) startet.

1. Alle Punkte mit rationalen Koordinaten sind konstruierbar (Beweis trivial, Geometrie der 7. oder 8. Klasse)
2. Schnitte zwischen konstruierten Geraden bringen nichts Neues (beweisen Sie das!)
3. Schnitte, bei denen Kreise beteiligt sind, können Neues bringen. Wie sieht dies als Rechenausdruck aus?
4. Was geschieht, wenn man das iteriert?
5. Man zeige, wenn die dritte Wurzel aus 2 in der Iterationskette vorkommt, so kommt sie bei einer kleinsten Iterationstiefe das erste Mal vor. Man führe das zum Widerspruch, indem man zeigt, dass sie dann schon einen Schritt vorher vorkam

Diese Aufgabe ist nicht zum schnellen Lösen, sondern zum Studieren und Zähneausbeißen! Auch wenn man nicht fertig wird, lernt man dabei viel. Daher: Zeitlimit setzen und irgendwann abbrechen, später wieder aufgreifen. Eine einfache Lösung dieser Aufgabe wird bei unserer ersten Präsenzsitzung besprochen.




Woche 3 und Woche 4,  Mittwoch 6. Mai und Mittwoch 13. Mai

Das folgende Material ist für zwei Wochen, in einer Woche kommt man da nicht durch.

Wir wollen uns etwas eingehender mit dem "Altmeister des Nachdenkens über mathematische Probleme und mathematisches Problemlösen", George Polya befassen. Der Artikel
György Pólya, 1887 – 1985. Zur Biographie, zum Lebenswerk und zu seiner Wirkung auf die Mathematikdidaktik  pdf
von Bernd Zimmermann ist zum Einlesen gut geeignet. Er erschien 2008 in den Beiträgen zum Mathematikunterricht.

In seinem Werk "Mathematik und plausibles Schließen" (Birkäuser 1988) beschreibt und mathematisiert (!) Polya psychologische Mechanismen induktiver mathematischer Erkenntnisgewinnungsprozesse, die in der Geschichte der Mathematik, in der mathematischen Forschung und auch im Kleinen bei Nacherfindungsprozessen im Klassenzimmer den Gang der Gedanken steuern und nicht den Gesetzen der exakten Logik, also des demonstrativen Schließens folgen. Seine Darstellung verwendet stets fundierte und relevante mathematische Beispiele, so dass allein aus fachmathematischer Sicht das Lesen seiner denkpsychologischen Abhandlungen für den mathematisch Interessierten äußerst gewinnbringend ist. Der Nutzen für den Didaktiker kann gar nicht hoch genug eingeschätzt werden, Polya ist aus meiner Sicht an Klarheit und Tiefe unerreicht.

p 

Lesen Sie bitte ein Kapitel aus Band 2, "Die nächstliegenden Strukturen", pdf

Mit diesem Kapitel springen wir gewissermaßen gleich ins Wasser. Diese induktive Vorgehensweise wird dadurch möglich, dass in diesem Kapitel tatsächlich (in Band 2) die "Ernte eingefahren wird", die durch mathematische Beispiele in Band 1 gut vorbereitet wurde, hier aber dennoch an weiteren für sich allein verständlichen inhaltlichen Beispielen das Gemeinte entwickelt wird. Um den Rückbezügen folgen zu können, stelle ich hier noch die entsprechenden Kapitel aus Band 1 zum Lesen bereit:

Induktion in der Geometrie des Raumes (Kapitel 3 aus Band 1) pdf
Induktion in der Zahlentheorie (Kapitel 4 aus Band 1) pdf
Das isoperimetrische Problem (Kapitel 10 aus Band 1) pdf

Folgt man dem Plan Polyas, der darin bestehen könnte, in seinen Lesern erst durch ganz unterschiedliche Beispiele eigene Abstraktionen über Findungsprozesse zu wecken, so lese man diese Kapitel vor den "nächstliegenden Strukturen".
Aber, wie gesagt, man kann auch induktiv vorgehen.

Nach der Lektüre der "nächstliegenden Strukturen" rekapituliere man was Polya unter der "Diskussion eines Satzes" versteht und diskutiere selbst einen Satz in diesem Sinne. Eine alte Klausuraufgabe:


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Weitere Aufgaben (zum eigenen Problemlösetraining):

Aufgabe 9 von Seite 29 des Kapitels "die nächstliegenden Strukturen".
Aus Eulers Vermutung folgt Fermats Vermutung.
Der Wunsch, dieses zu leisten gründet sich u. a. (nach Polya) auf dem plausiblen Schlussmuster "F glaubwürdig, aus E folgt F, E etwas glaubwürdig." Für den Mathematiker ist aber ein Beweis für "Aus E folgt F" natürlich sowieso eine spannende Sache. Versuchen Sie, einen solchen Beweis selbständig zu führen (das ist sicher nicht trivial und kann gern ein paar Tage dauern, bis einem etwas einfällt).

Man überlege, für welche Sätze der Schulmathematik eine Diskussion im polyaschen Sinne wertvoll sein könnte.





Woche 4 und Woche 5,  Mittwoch 20. Mai und Mittwoch 27. Mai


1. Eine Nachlese zu den bisherigen Inhalten

#1 Anhand der von Polya gestellten Aufgabe aus "Mathematik und plausibles Schließen" können viele didaktische Aspekte des problemorientierten Mathematikunterrichts angesprochen werden.

Zur Erinnerung die Aufgabe:

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Fermats damalige Vermutung ist heute bewiesen. Zu Eulers Zeit war sie es nicht. Bewiesen (von Euler) war aber damals schon, dass jede ungerade Primzahl sich als Summe zweier Quadratzahlen darstellen lässt. Verschiedene Beweise dieses Satzes findet man z. B. in Aigner/Ziegler, "Das BUCH der Beweise", Springer 2010

Polya bringt dieses Beispiel im Kapitel "Die nächstliegenden Strukturen" (in 4, download oben) auf Seite 29/30. Es illustriert die Schlussfigur "aus E folgt F, F glaubwürdig, --> E etwas glaubwürdiger".

Hier sind drei verschiedene Beweise mit ihren Findungswegen pdf. Die Darstellung weist auch auf heuristische Aspekte hin, die im Unterricht eine Rolle spielen.


#2 Zum Beweis der Unlösbarkeit des delischen Problems (Würfelverdoppelung) hatte ich in Woche 2 einen Hinweis gegeben.
Hier ist ein sehr elementarer Beweis pdf. Am Ende findet man die Aufgabe zu beweisen, dass es nicht möglich ist, jeden Winkel mit Zirkel und Lineal zu dritteln.


#3
Mit der archimedischen Spirale und der Trisectrix kann der Würfel verdoppelt und ein Winkel gedrittelt werden.
Hier wird jeweils eine Möglichkeit gezeigt pdf.
Das sind natürlich keine Lösungen der Konstruktionsaufgabe (die ja nur Zirkel und Lineal erlaubt)
Bekannt ist auch diese Möglichkeit mit Hilfe zweier rechtwinkliger Winkelhaken:
wMan überlege sich: Ist OB = 2, so ist = OA die dritte Wurzel aus 2.


#4 Hier ist zu sehen, wie man aus drei gegebenen Höhen ein Dreieck konstruieren kann. Man sieht, dass dazu die vorgegebenen Höhen die Dreiecksungleichung erfüllen müssen (Das bezieht sich auf die Aufgabe aus der ersten Woche).
3

#5 Die folgende Aufgabe soll eine Einstimmung auf ein heuristisches Verfahren sein (den Repräsentationswechsel), das bei bei Problembearbeitungen oft hilfreich ist.

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Eine Leiter der Länge a soll an eine Wand gestellt werden, so dass sie möglich hoch hinaufragt. Vor der Wand steht eine Kiste mit quadratischem Querschnitt (Kantenlänge ist 1).

Man konstruiere das Ergebnis.

Nachtrag zum virtuellen Seminar am Mittwoch:

Es war nicht einfach (und in dem von mir erhofften Umfang) mit den eingeschränkten Möglichkeiten wirklich anschauliches Licht in die Problemfelder zu bringen. Ich kann nur hoffen, dass die hochgeladenen Texte für alle Seminarteilnehmer verständlich sind. Eine völlig unerwartete Panne war es, dass z. B. bei der Besprechung des Beweises der Unlösbarkeit des delischen Problems, der Webraum-Editor einfach die griechischen Buchstaben weggelassen hat. Ich gebe hier nun noch mal ein kurzes Protokoll der angesprochenen Inhalte und versuche die "Knackpunkte" hervorzuheben.

Delisches Problem

Voraussetzungen:
Das Problem wird in ein Koordinatensystem gelegt. Ich gehe davon aus, dass jeder Seminarteilnehmer weiß, dass Punkte mit rationalen Koeffizienten konstruierbar sind (man muss dazu wissen, wie man vorgegebene Strecken in beliebig viele gleichlange Teilstrecken zerlegt). Ich gehe auch davon aus, dass jedem der geometrische Konstruktionsbegriff (das ist bis heute der altgriechische) geläufig ist.

Überlegung: Durch die Schnittpunkte mit Kreisen (seien es nun zwei Kreise oder Gerade und Kreis) kommt man aus der Menge der rationalen Punkte heraus. Es kommen nämlich Zahlen der Form
1  dabei sind alpha, beta und gamma aus der aktuellen Menge der rationalen Zahlen.

hinzu. Den Ort dieser Zahlen auf dem Zahlenstrahl können wir also konstruieren. Dabei stehen alpha und beta und gamma zunächst für rationale Zahlen. In der Sprache der Körpererweiterungen haben wir eine Zahl, nämlich die Wurzel aus gamma adjungiert. Wir können nun nämlich alle Zahlen dieses Typs mit beliebigem alpha und beta und festem gamme konstruieren und damit auch alle Punkte, deren Koordinaten dieses Typs sind. Man überlegt sich leicht, dass die Zahlen dieses Typs wieder einen Körper bilden.
Man iteriert nun diese Vorgehensweise, sieht also ein, dass man nur Zahlen konstruieren kann, die durch geschachtelte Wurzelausdrücke gegeben sind und zeigt, dass die dritte Wurzel aus 2 nicht dazugehört.
Letzteres beweist man durch einen Widerspruch (der auch als unendlicher Abstieg geführt werden kann). Das wirkt ein klein bißchen tricksig, wenn man das das erste Mal sieht. Daher habe ich die Ausführungen um die Aufgabe erweitert, das Schema auf den Unmöglichkeitsbeweis der Winkeldreiteilung anzuwenden. Dazu sage ich beim nächsten online-Treffen etwas.
Sie sollten also versuchen, diesen Beweis zu führen
. Die Aufgabe steht also in diesem Dokument.

Wozu ich leider nicht kam (wegen der technischen Schwierigkeiten, die zu Zeitmangel führten), war die Besprechung der "Lösung mit erweitertem Werkzeugkasten". Bei der Lösung mit dem Winkelhaken denke man an die drei ähnlichen Dreiecke und denke multiplikativ. Der Faktor, von der kurzen zur längeren Kathete ist natürlich immer derselbe. Besonders sinnfällig ist das, wenn sich das mal mit dem Faktor 2 anguckt (rechts neben den Winkelhaken). Die längere Kathete ist immer doppelt so lang wie die kurze. Lässt man die Figur nun (umgekehrt gedacht) bei -8 enden, so erhält man automatisch 2, also die dritte Wurzel aus 8 auf der y-Achse oben.
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Diese Lösung geht vermutlich auf Eratosthenes von Kyrene zurück, übrigens ein Freund von Archimedes. Mehr dazu findet man z. B. hier (da ist auch eine Zeichnung eines trefflichen Einschiebeapparates, der die Sache mit den Winkelhaken sehr elegant mechanisch löst). Das ist gleichzeitig eine mechanische Methode, sozusagen ein Rechenschieber, der dritte Wurzeln zieht.

Die Lösungen mit der archimedischen Spirale und der Trisectrix habe ich ja schon beschrieben und hochgeladen (hier ist noch einmal der Link)
Trisectrix und archimedische Spirale lösen das Problem der Winkeldrittelung also über eine Streckendrittelung. Es ist klar, dass man analog jeden beliebigen rationalen Winkelanteil konstruieren kann. Um den Zusammenhang zur Kreisquadratur zu sehen, muss man ein bißchen rechnen. Die Sache ist im Text nur soweit dargestellt, bis man ein flächeninhaltsgleiches Rechteck bzw. Dreieck hat. Ich gehe davon aus, dass allgemein bekannt ist, wie man Rechtecke und Dreiecke quadriert. Sonst sehe man sich die folgende Figurenfolge an (sie zeigt, wie das mit einem Rechteck geht. Damit ist aber auch klar, wie es mit einem Dreieck geht, denn das kann man ja leicht zum Rechteck machen.
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Das geht also mit dem Höhensatz. Schon die Vorsokratiker wussten, dass jedes Polygon quadrierbar ist (man kann es z. B. erst durch Scherungen in ein Dreieck verwandeln, dann in ein Rechteck und dann mit Hilfe des Höhensatzes in ein Quadrat).


Aus Eulers Vermutung folgt Fermats Vermutung

Ich habe die drei dargestellten Beweise erläutert. Den dritten Beweis habe ich mir in Anlehnung an die pythagoreischen Legefiguren ausgedacht. Es ist eine alte, sehr schöne und kräftige Methode, mit figurierten Zahlen zu arbeiten. Für den Schulunterricht ist dies besonders zu empfehlen, da mit dieser Hilfe auf bildhafte Art und Weise ein tiefer struktureller Einblick entstehen kann.
Einige Anregungen habe ich hier zusammengestellt. Die Zusammenstellung enthält auch Aufgaben, die man bearbeiten kann.
Die Seiten stammen aus einer Handreichung für Studenten des Realschullehramts.

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Beispiel nach Lichtenberg: Bestimmung einer Formel für die Summe der Quadratzahlen.

Mit diesen Beispielen steht die Beweismethode im Lesetext zu dem Beweis, dass aus Eulers Vermutung Fermats Vermutung folgt, nicht so isoliert da.

Die Leiteraufgabe

An dieser Aufgabe sollte noch selbständig gearbeitet werden. Wir wollen an ihr die Methode "aus der Rechnung heraus eine Konstruktion entwickeln" betrachten. Auf einer analogen Überlegung fußte ja der Konstruierbarkeitsbeweis zum regulären Siebzehneck von Gauß.

Also viel Spaß dabei und noch eine weitere Aufgabe, die so oder auch eleganter gelöst werden kann:

Drei parallele Geraden seien gegeben. Man konstruiere ein gleichseitiges Dreieck so, dass jede Ecke auf einer der drei Geraden liegt. (Zunächst wird man darüber nachdenken, ob das überhaupt immer möglich ist).

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Die nächste online-Sitzung ist nach der Exkursionswoche zur Vorlesungszeit.





Woche 6 und Woche 7,  bis zum 16. Juni


In der online-Sitzung habe ich etwas über die Auffindung einer Konstruktion des 17-Ecks gesprochen.
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Das Dokument pdf

Man kann diesen Gang - im Kleinen - analog durchlaufen, wenn man sich der Leiteraufgabe zuwendet. Eine Lösung habe ich gezeigt (an der ich lange herumgefeilt habe um mit möglichst wenig Schritten auszukommen).

2Schritt für Schritt hier pdf

Die Ausgangssituation ist so gewählt, dass die Leiter auf dem Quadrat steht. Nach einigen Schritten hat man den Punkt, den die Leiter an der Wand trifft, wenn sie vor dem Kasten steht, konstruiert.

Auch an der Parallelenaufgabe kann man diese Methode erproben. In drei parallele Geraden soll ein gleichseitiges Dreieck gelegt werden. Auf jeder Geraden soll eine Ecke liegen. Man überlege sich zunächst, ob es immer eine Lösung gibt. Für die Fälle, bei denen es eine Lösung gibt, rechne man sich diese aus und konstruiere dann anhand der Rechnung. Sehr lustig ist es, wenn man nach dieser "Plackerei" dann eine triviale reingeometrische Lösung sieht! Sieht man sie vorher, rechne man trotzdem um das Verfahren zu verinnerlichen.

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Als Heurismus kann man bei diesem Verfahren also den Repräsentationswechsel nennen.



Danach habe ich zu den Skriptseiten dieser Notizen für Realschullehrer pdf ein paar Erläuterungen und Einschätzungen gegeben.

In diesen Notizen findet sich eine, wie ich finde, sehr hübsche Sache von dem berühmten und hochverehrten Mathematiker John Horton Conway, der in diesem Jahr gestorben ist. Sein "Game of Life" haben wir zu meiner Schulzeit auf Rechenkästchen gespielt und vor einigen Jahren habe ich ein kleines freeware-Programm geschrieben, mit dessen Hilfe man viele verschiedene zelluläre Automaten definieren und Verläufe in ihnen betrachten kann. Hier sind drei Momentaufnahmen dynamischer Systeme.
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Hier kann man sich das anschauen und das Programm herunterladen.

Aber das nur nebenbei, zur Erinnerung an Conway, der sich - als berühmter Mathematiker - nicht zu schade war, noch in Anlehnung an pythagoreische Legefiguren oder Lichtenbergsche Methoden sich diese Zahlanordnung auszudenken, der man unschwer eine Formel für die Summe der Quadrate der natürlichen Zahlen ansieht.

Ein "proof without words für 4:
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Zur Winkeldreiteilung sollte bewiesen werden, dass das mit Zirkel und Lineal nicht geht. Mit dieser Aufgabe schließt dieses Dokument, das auch schon weiter oben verwendet wurde.

Vorher wurde gezeigt, wie das mit dem delischen Problem ganz elementar funktioniert. Ich habe als letzten Satz damals geschrieben: "Nun macht man weiter wie beim delischen Problem", ohne das aber tatsächlich selbst gemacht zu haben. Es wird einen Tick komplizierter, denn an einer Stelle kommt ein vorher nicht dagewesener Stolperstein ins Spiel.


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Zwischenbemerkung: Wenn man sich nun ein Zirkel-Werkzeug für Hyperbeln und Parabeln ausdenkt, so kann man damit den 60°-Winkel dritteln. Das wäre also eine weitere Möglichkeit, wenn man die Strenge "mit Zirkel und Lineal" aufgibt. Es wäre allerdings wirklich nur eine Möglichkeit für diesen speziellen Winkel. Wir hatten ja schon gesehen, dass man mit der Quadratrix und der archimedischen Spirale jeden Winkel in jede beliebige Zahl gleich großer Winkel zerlegen kann. Wenn wir aber nun bei diesem Gedanken bleiben, wäre es auch relativ einfach, sich derartige Zirkel auszudenken, man kann die Ortslinieneigenschaften der Kurven dafür verwenden. Für die Schule habe ich mal so einen Parabelzirkel gebaut.


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Bis hierher ist das völlig analog zu dem Beweis zum delischen Problem. Das Argument, dass der Koeffizient der Wurzel gleich 0 sein muss ist ganz dasselbe und aus b = 0 wird auch ganz derselbe Schluss gezogen. Allerdings kann in diesem Falle auch die Klammer vor der Wurzel den Wert 0 haben.

Beim delischen Problem sieht die analoge Stelle im Beweis so aus:

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Hier ziehen also dieselben Argumente und man ist dann auch fertig, weil die Klammer im rechten Summand gar nicht 0 werden kann (man bedenke c > 0). Hier sieht es nun anders aus, die Klammer enthält noch "-3" und nun kann der Wert der Klammer 0 werden (mit dem Versuch, das auszuschließen, kann man viel Zeit verplempern).

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Man bearbeite die beiden Übungsaufgaben!

Themenwechsel:
Zum Schluss werfen wir noch einen Blick auf ein Verfahren zur Bestimmung von Polynomgleichungen von Sir Isaac Newton. Es ergänzt die kennengelernten Verfahren aus Altertum und moderner Zeit und ist wirklich verblüffend einfach. Tauscht man die üblichen Potenzen der Variablen gegen Binomialkoeffizienten, so kann man die Funktionsgleichung einfach aus der Wertefolge und ihren Differenzenfolgen erster und höherer Ordnung ablesen. Um daraus ein Polynom in der üblichen Darstellung zu machen, muss man die dann allerdings ausmultiplizieren.


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Wenn klar ist, dass eine der Differenzenfolgen die Nullfolge ist (das ist ja bei allen Polynomen der Fall), erhält man so einfach das Polynom. Wenn man eine Folge untersucht, von der man noch nichts weiß, erhält man so auf einfache Weise eine Vermutung. Wird keine Differenzenfolge konstant (man probiere den Fall durch, dass die Folge und alle Differenzenfolgen mit 1 starten), erhält man ebenfalls interessante Einblicke in gewisse Folgen.

Aufgaben dazu:
1. Man erprobe das Verfahren an selbstgewählten Beispielen.
2. Man beweise die Korrektheit des Verfahrens.



Zwei Artikel aus

B. L. van der Waerden: "Einfall und Überlegung", Birkhäuser 1973
Beiträge zur Psychologie mathematischen Denkens.
Kapitel I, Einfall und Überlegung in der Mathematik, Kapitel II, Der Beweis der Vermutung von Baudet. pdf


Nicht viele, aber doch einige der großen Mathematiker haben Auskunft über mathematiktypische Denkprozesse gegeben. Zu diesen gehören G. Pólya, J. Hadamard (die ganze Bücher darüber geschrieben haben), Archimedes (in seiner sogenannten Methodenschrift) und auch van der Waerden.

In dem ersten abgelichteten Beitrag stellt van der Waerden einige Ergebnisse des Nachdenkens über das Denken vor. Das geschieht u. a. anhand, bzw. illustriert mit der archimedischen Wägemethode (die eine geistige Wägemethode ist).
Der zweite Beitrag "Der Beweis der Vermutung von Baudet" berichtet von einem "Geistesblitz" der zur Auffindung eines schönen Beweises für eine - wie ich finde sehr interessante - Behauptung, die man sich gut aus einem Spiel mit Wendeplättchen entstanden denken kann, führte.

Vor dem Lesen kann man sich selbst an einem Beweis versuchen, das Lesen wird dann spannender. Hier ist die Aussage:

Teilt man die Gesamtheit der natürlichen Zahlen 1, 2, 3, ... in zwei Klassen ein, so enthält mindestens eine dieser Klassen eine arithmetische Progression von k Gliedern, wobei k eine beliebig vorgegebene natürliche Zahl ist.

Visualisieren kann man sich das durch eine Reihe von Kreisen, die entweder ausgefüllt oder hohl sind:


Bei 9 Zahlen ist es aber schon unvermeidbar, dass eine der Klassen eine arithmetische Progression aus 3 Zahlen enthält!

Diese Visualisierung habe ich mir ausgedacht, um einen einen kurzen Beweis für die erste Kleinigkeit des Beweises zu finden, nämlich, dass spätestens dann, wenn man die ersten 9 natürlichen Zahlen in zwei Klassen teilt, eine arithmetische Progression der Länge 3 in wenigstens einer der Klassen ist. Der Beweis in dem Artikel (für diese relativ triviale Sache, die am Anfang steh) gefiel mir nicht.
Vielleicht können Sie ja diesen kleinen Beweis anhand dieser Repräsentation oder auf andere Weise, selbst führen und sich dann in die große Frage eindenken.

Für den Hauptbeweis im Artikel wird eine geniale Visualisierung, die was mit Wäscheleinen zu tun hat, verwendet.



Produktive Aufgaben
Seminar, Mittwoch 11.30 bis 13.00 Uhr
Leistungen

Studienleistung, also keine Klausur. Das Seminar hat "Workshopcharakter", daher ist eine kontinuierliche Teilnahme zur Attestierung der Studienleistung nötig (sobald dies wieder mögich ist). Zur kontinuierlichen Teilnahme gehört, dass jeder Teilnehmer einmal im Semester zu einer Aufgabe etwas vorstellt. Neben der kontinuierlichen Teilnahme (sobald das wieder geht) muss eine schriftliche Hausaufgabe angefertigt werden. Die Rahmenbedingungen werden im Seminar besprochen und rechtzeitig hier veröffentlicht.



Zur Organisation:

Die ersten Wochen findet das Seminar in Form von online-Lernangeboten und gelegentlichen online-Treffen statt.
Wenn ein solches Meeting stattfindet, wird auf dieser Seite im Wochenprotokoll darauf hingewiesen und die Zeit ist dann die Seminarzeit.

Zur Teilnahme am Meeting:
https://webconf.vc.dfn.de/reh/
Raum-Passcode:  SonneMondSterne

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Wenn Sie noch nie an einem Adobe Connect-Meeting teilgenommen haben:
Testen Sie Ihre Verbindung: https://webconf.vc.dfn.de/common/help/de/support/meeting_test.htm
Verschaffen Sie sich einen schnellen Überblick: http://www.adobe.com/de/products/adobeconnect.html




Zielrichtung

Wir weichen von der Einschränkung, Aufgaben zum goldenen Schnitt zu verwenden ab. Diese waren von mir so konzipiert, dass viel Präsenz erforderlich ist (Austeilen von Material und Arbeit daran, weitere Visualisierungen, die einiges an Erklärungen erfordern, etc.)

Die Zielrichtung der Veranstaltung beschreibt das folgende Zitat aus dem Buch:

Strunz, K., Der neue Mathematikunterricht in pädagogisch-psychologischer SichtQuelle und Meyer, 1968, S.  228.


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Von Georg Christoph Lichtenberg (1742 bis 1799) stammt der Aphorismus:

"Was man sich selbst erfinden muß, läßt im Verstand die Bahn zurück, die auch bei anderer Gelegenheit gebraucht werden kann"

Der ungarische Mathematiker George Pólya empfiehlt:
 
"Um erfolgreich zu lernen, sollte der Lernende einen so großen Bruchteil des zu erlernenden Stoffes selbst entdecken, wie unter den gegebenen Umständen irgend tunlich ist."

Pólya, G.: Vom Lösen mathematischer Aufgaben. Bd. I + II, Birkhäuser, Basel, Stutt-gart, 1966, Bd. II, S. 157


Materialien

empfehlenswerte Bücher:

Kurt Strunz, "Der neue Mathematikunterricht in pädagogisch-psyhologischer Sicht", Quelle und Meyer, 1968.
Pólya, G.: Vom Lösen mathematischer Aufgaben. Bd. I + II, Birkhäuser, Basel, Stuttgart, 1966

Leseproben:
werden im Laufe des Semesters eingefügt


Artikel (Downloads und Links):
1 Zimmermann zu Polya, pdf
(Biographisches)

2 Wittmann, Erich: Von allen Gutern Geistern verlassen, Fehlentwicklungen des Bildungssystems, Link
(Metabetrachtung über aktuelle Entwicklungen im Bildungssystem)

3 Terme repräsentieren Strukturen (eigener Artikel) pdf
(ausgearbeitetes Beispiel für den Schulunterricht)




Wochenprotokolle, Anregungen zum Selbststudium

Übergreifender Arbeitsauftrag:
Die Internetseite Hamburger Schülerzirkel Mathematik am Geomatikum enthält eine Fülle von Aufgaben, die ich vor einigen Jahren für meine Heimatstadt produziert habe und in regelmäßigen Treffen mit Schülern der Jahrgangsstufen 8 bis 12 ausprobiert habe. Die erste Aufgabe (ganz unten auf der Seite) war für den 20. November 2015 und die letzte vom 14. Juli 2017. Diese Aufgaben sollen die Grundlage für einen Teil des Selbststudiums bilden. Einige Bearbeitungen, die auf der Seite auch verlinkt sind, habe ich vorerst mit einem Passwort geschützt. Zum Semesterende wird das bekannt gemacht.

Wir wollen so vorgehen:

- In der online-Phase des Semesters bearbeitet jeder 3 selbstgewählte Aufgaben.
- Sobald wir uns wieder treffen können, stellt jeder wenigstens einmal Teile seiner Bearbeitung vor (Studienleistung)
- Am Ende des Semesters wird eine schriftliche Ausarbeitung abgegeben. Die Anforderungen werden noch präzisiert.

Zur Planung der mündlichen Seminarbeiträge werde ich beizeiten eine Planung (doodle) einrichten.




Woche 1, Mittwoch 22. April


Lesen der Artikel 1, 2, und 3. Artikel 3 sollte "aktiv gelesen" werden, das heißt, dass man das Lesen gelegentlich unterbricht, um die vorgestellten Aufgaben selbst zu lösen.

gAufgabe aus Artikel 3

Dann beginne man damit, sich mit den Aufgaben des Schülerzirkels zu befassen.




Woche 2, Mittwoch 29. April

Weiterarbeit am übergreifenden Arbeitsauftrag (s.o.)



Woche 3, Mittwoch 6.  Mai

Wie oben schon geschrieben, soll bei Beginn der Präsenzsitzungen (auf die ich immer noch ab Juni hoffe), damit begonnen werden, dass aus dem Teilnehmerkreis heraus Aufgabenbearbeitungen der Aufgaben des Schülerzirkels  vorgestellt werden.

Wir wollen nun damit beginnen, die Themen ein bißchen zu planen. Dabei will ich so vorgehen, dass ich für jedes Thema Teilnehmer notiere, die zu dem Thema etwas beitragen können (das muss keine "vollständige Lösung" sein, manche Themen sind ja auch als sehr umfangreiche und auch offene Problemfelder angelegt). Wir wollen einfach einige Aspekte und mögliche Herangehensweisen in gemeinsamer Runde diskutieren.

In den folgenden Tagen oder Wochen möchte ich Anmeldungen für die einzelnen Themen sammeln. Ich habe die Themen des Schülerzirkels in der folgenden Tabelle aufgelistet (mit dem Erscheinungsdatum, um das Thema eindeutig zu identifizieren).
Ihre Teilnehmernummer ist die von der StudIP-Liste für unser Seminar.

v

Übermitteln Sie mir bitte 2 Themennummern, zu denen Sie an der Tafel etwas beitragen können. Ich trage die Meldungen hier sukzessiv wöchentlich in der Tabelle ein, so dass man immer bequem sehen kann, wo noch Lücken sind, denn pro Thema habe ich maximal vier verschiedene Beiträge vorgesehen. Wenn Sie schon einen Themenliebling haben, sollten Sie mir den also möglichst bald übermitteln.

Einmal an der Tafel vorrechnen gehört dann zur Studienleistung, wie auch die Abgabe einer kleinen Ausarbeitung zu einem Thema nach dem Ende des Semesters. Das wird noch genauer bekanntgegeben, erst einmal steht die Problembearbeitung im Vordergrund.

Ich wünsche weiterhin viel Spaß beim Problemlösen!




Vorgaben für die Hausarbeit:

Eine der Aufgaben aus dem Hamburger Schülerzirkel soll in Ihrer Ausarbeitung analysiert werden. Dabei soll man sich an den folgenden Gesichtspunkten orienieren:

Umfang, Stil, Fristen, Abgabe, Partnerarbeit
Umfang: 6 bis 10 Seiten: knapp und prägnant, an Leser mit mathematischem Verstand gerichtet (man denke an eine Handreichung für Lehrer, die das Material einsetzen wollen). Sollten die Aufgaben eines Blattes diesen Rahmen sprengen, müssen Sie eine Auswahl treffen, ist da zu wenig Substanz dran, Punkt 2 von "Inhaltliches" stärker ausarbeiten. Bitte nichts Handschriftliches. Die Ausarbeitung soll bis Ende August als pdf-Dokument an mich geschickt werden. Die Ausarbeitung kann eine Partnerarbeit sein, muss aber nicht.

Inhaltliches

1. Mathematische Lösungen der (oder einiger ausgewählter) Aufgaben des gewählten Blattes. Es geht nicht darum, die Aufgabe einfach nur möglichst kurz zu lösen, sondern darum, sie mathematisch (und so ein bisschen denkpsychologisch) zu analysieren. Einige Beispiele (nicht alles geht bei allen Aufgaben, es sind Anregungen)
- Wenn man verschiedene Lösungswege sieht, können diese beschrieben und verglichen werden. Wie schätzt man selbst die Leichtigkeit darauf zu kommen ein?
- Hat man verschiedene Beweise für dieselbe Aussage, so können mehrere Beweise gebracht werden. Man kann dann auch etwas einschätzen, worauf Schüler wohl eher kommen könnten (man versetzt sich gedanklich in die Lage von Menschen, denen nicht zu viel Vorwissen zur Verfügung steht).
- Die Herangehensweisen zur Ergebnisfindung sollte transparent werden. Hat man z. B. erst einmal eine Serie von Beispielen betrachtet und daraus Vermutungen gewonnen, eine Gleichung aufgestellt, eine Analogie zu Bekanntem gesehen, etc.?
- Gibt es Spezialfälle, bei denen man die Lösung "sofort sieht"?
- Kann man Visualisierungen nutzen oder  spielerische Ansätze ausprobieren.
- Höhere und elementare Methoden können verglichen werden, evtl. können verschiedene Repräsentationen, arithmetisch, algebraisch, geometrisch eine Rolle spielen).
Natürlich steht die Lösung der Aufgaben im Mittelpunkt. Ein Teil der genannten Aspekte sollte aber angesprochen werden. Das kann z. B. sehr gut in einem Prosatext geschehen, in dem man die eigene Vorgehensweise reflektiert und darstellt (das kann man z. B. in "Kästen" unterbringen, während die mathematische Bearbeitung im Haupttext läuft, oder umgekehrt).
Man darf seiner Phantasie und seinem Gefühl für schöne Gestaltungen freien Lauf lassen, ich will kein zu enges Korsett vorgeben, sondern dazu animieren, eine Art mathematischer Abhandlung zu schreiben, die man z. B. einer Zeitung für die Ecke "Unterhaltungsmathematik" anbieten könnte.

2. Mathematische Anschlussfragen und Anschlussergebnisse, Vernetzung mit anderen Inhalten. Manchmal (nicht immer!) ist es ja so, dass einem bei der Arbeit an einem mathematischen Problem etwas auffällt, das einen zu weiteren Fragen führt, die mehr oder weniger eng mit dem bearbeiteten Problem zusammenhängen. Hier kann man also einfach schöne Fragen aufschreiben (die man nicht bearbeiten muss). Manchmal ist es auch so, dass man Verallgemeinerungen sieht und aus dem Erarbeiteten sogar mehr schließen kann, als zunächst beabsichtigt wurde. Das kann man in diesem Punkt unterbringen.









Zum Schluss:

Sollten dem Leser dieser Seiten Fehler in Orthographie, Sinn und Verstand auffallen, so bittet der Verfasser um Nachsicht und Nachricht und bittet auch darum, die Tücken der Technik (auf die auch andere hingewiesen haben) zur Entschuldigung ins Kalkül zu ziehen:




O unberachenbere Schreibmischane,

was bist du für ein winderluches Tier?
Du tauschst die Bachstuben günz nach Vergnagen
und schröbst so scheinen Unsinn aufs Papier!
dd

Du tappst die falschen Tisten, luber Bieb!
O sige mar, was kann da ich dafür?

von J. Guggenmoos

 



H. Rehlich, TU Braunschweig

Meine Internetseite mit Computerprogrammen und elementarmathematischen Problemfeldern