Die Flucht der Panzerknacker                                 

Dieses Programm bezieht sich auf die Aufgabe E1 aus Kapitel 4 in MatheNetz 8 aus dem Westermann Verlag.  Die Panzerknackerbande hat die Bank von Entenhausen überfallen und ist auf der Flucht. Die gelben Strecken markieren von der Polizei aufgestellte Lichtschranken. Gefragt ist nach der Wahrscheinlichkeit bei „kopfloser Flucht“ zu entkommen.  

Programmoberfläche

Die „Simulation per Hand“ ist wegen der schlechten Konvergenz der relativen Häufigkeiten und der Gefahr systematischer Fehler nur bedingt zur numerischen Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten geeignet. Außerdem wird dieses Vorgehen spätestens bei den Anschlussaufgaben für die Schüler auch langweilig und zu zeitaufwendig.

Die Grafik links zeigt, dass der theoretische Wert 36,1% für die Ausgangsaufgabe  durch die von uns per Hand erwürfelten 100 Simulationsläufe nicht „bestätigt“ wird.

Der Einsatz einer Computersimulation kann Abwechslung in den Unterricht bringen und weitergehende methodische Möglichkeiten eröffnen. Die Tabelle oben rechts wurde mit Hilfe einer Computersimulation erzeugt. Der theoretische Wert wird nun klar plausibilisiert.

Der abgebildete Bildschirm oben zeigt die Situation nach 51 simulierten Fluchten, von denen 15 in eine Falle führten. Die 52. Flucht ist noch nicht abgeschlossen, die Panzerknackerbande wird mit der Wahrscheinlichkeit ½ entweder nach unten in die Falle oder nach rechts in die Freiheit laufen. Protokolliert wird nicht nur das Ende der jeweiligen Fluchtversuche sondern – durch die Spuren, die umso breiter sind, je öfter ein Weg benutzt wurde – auch der Verlauf.

Bemerkungen zur Arbeit mit dem Programm:

Man kann es als Demonstrationsprogramm einsetzen (etwa mit Laptop und Beamer) oder die Schüler selbst mit dem Programm arbeiten lassen.

Arbeit im Problemfeld

·          Die verschiedenen Möglichkeiten zur Durchführung einer Simulation („Einzelschritt“, „ganze Flucht“ und „50 Fluchten“) laden dazu ein, erst einmal Beobachtungen zu sammeln.

·          Die Schülervorschläge zur Lösung der Ausgangsaufgabe oder einer Anschlussaufgabe (man kann einzelne Lichtschranken dazuschalten oder abschalten) können hinsichtlich ihrer Plausibilität geprüft werden („Verifikation“). Falls die Schüler selbst mit dem Programm arbeiten, wird dadurch eine Selbstkontrolle möglich und der „sportliche Ehrgeiz“, auf theoretischem Weg eine exakte Vorhersage zu treffen, wird gefördert.

·          Die Visualisierung durch die Spuren kann eine frequentistische Sichtweise als einen Weg zur Theoriebildung begünstigen und z.B. zur „Erfindung“ der folgenden Repräsentation leiten.

·          Die eingetragenen Zahlen zeigen den durchschnittlichen Verlauf von 180 Fluchten. 90 führen nach rechts und 90 nach links. Von dort aus teilen sich die Wege dann wieder auf.

Weiterführendes:

Eine im Programm wählbare Option („Hin-und-her möglich“) führt über das Ausgangsniveau hinaus in einen grundsätzlich anderen „mathematischen Gegenstandsbereich“. Durch die Auswahl dieser Option werden nämlich beliebig lange Wege möglich (auch kreisförmige, wenn man die störende Lichtschranke in der Mitte deaktiviert) und das Baumdiagramm wird unendlich. Die Schüler können hier die Grenzen der vorher benutzten Analysemethode erfahren und den Bedarf für weitergehende Methoden erkennen.

Man kann hier z.B. durch einen sehr elementaren gedanklichen Ansatz in die Theorie der Markoff-Ketten „hineinschnuppern“:

Mit p bezeichnet man die unbekannte Wahrscheinlichkeit dafür, von der Bank aus startend in eine Falle zu laufen. Der „Trick“ liegt darin, analog auch für die anderen Kreuzungsbereiche die Existenz der Wahrscheinlichkeit dafür, von hier aus startend, in  die Falle zu laufen zu postulieren und mit Variablen zu bezeichnen.

Z. B. bezeichnet q dann also die Wahrscheinlichkeit dafür, von dieser Kreuzung aus (und wenn man diese Kreuzung erst einmal erreicht hat, kann sie ja als Ausgangspunkt der dann folgenden „Weiterflucht“ gelten) in eine Falle zu laufen.

Dann müssen zwischen diesen fünf Variablen die folgenden Beziehungen bestehen:

Zur Erklärung wird die vierte Gleichung erläutert:

Falls sich die Panzerknacker hier befinden, wird ein Viertel aller Fluchten gleich in die Lichtschranke rechts führen; d.h. r = ¼ +...

Jeweils ein Viertel der Fluchten führt auf die p und t bezeichneten Kreuzungen. Da diese nun aber mit den Wahrscheinlichkeiten p und t in einer Falle landen, ergeben sich die Pfadwahrscheinlichkeiten ¼ p und ¼ t.